3- A equação da conservação da massa, em regime permanente e escoamento incompressivel, se reduz a
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas representa a equação da conservação da massa quando o escoamento é em regime permanente (steady) e incompressível. Informações dadas:
- Regime permanente: as grandezas não mudam com o tempo.
- Escoamento incompressível: a densidade do fluido é constante (não varia espacialmente nem temporalmente).
- Alternativas apresentadas: (a)
, (b) , (c) (mesma que (a)), (d) .
Passo 2
Começo pela forma local geral da equação de conservação da massa (continuidade). A forma geral (para fluidos compressíveis) é:
Explicando cada símbolo:
-
é a densidade do fluido (massa por unidade de volume). -
é o campo de velocidade (vetor velocidade, função de posição e tempo). -
é a derivada parcial da densidade em relação ao tempo (variação local da densidade). -
é a divergência do vetor fluxo de massa ; mede o fluxo líquido de massa saindo por unidade de volume.
Fisicamente essa equação diz: variação temporal da massa num volume + fluxo líquido de massa através da superfície = 0.
Passo 3
Agora aplico a hipótese de regime permanente (steady). Regime permanente significa que todas as grandezas observadas num ponto fixo no espaço não variam com o tempo, logo
Substituindo na equação geral obtemos:
Isso já é uma forma simplificada (ainda com
possivelmente variável espacialmente).
Passo 4
Em seguida uso a hipótese de escoamento incompressível. Incompressibilidade implica que
é constante (não depende de
nem de
), portanto podemos tirar
da divergência:
Como
é constante e não nula, da equação
segue
Interpretação física: a divergência do campo de velocidade é zero, ou seja, num ponto qualquer não há ganho nem perda de volume por unidade de volume — o fluido não “cria” nem “destrói” massa localmente.
Passo 5
Para conectar com a alternativa (b) (soma das massas entrada = soma das massas saída), apresento a forma integral da continuidade, que é útil em volumes de controle:
onde
é o volume de controle e
sua superfície, com
a normal exterior. Em regime permanente a derivada temporal some e, para
constante (incompressível), isso reduz a
que, interpretando como somas discretas de fluxos, corresponde à ideia de que a soma das vazões mássicas que entram é igual à soma das que saem — ou seja, a alternativa (b) é uma forma integral/operacional correta da conservação de massa sob essas hipóteses. Portanto (b) é uma consequência correta na forma integral, válida para um volume de controle.
Passo 6
Agora comparo com as alternativas dadas e justifico a escolha final:
- (a) e (c):
tratam de pressão, não são a equação de conservação de massa — estão incorretas no contexto pedido. - (b): é verdadeiro como enunciado integral (soma das massas de entrada = soma das massas de saída) sob regime permanente incompressível. É uma forma global/integral da conservação da massa.
- (d):
é a forma local/diferencial da conservação da massa para escoamento incompressível e permanente, obtida diretamente das hipóteses aplicadas à equação de continuidade. Quando o enunciado pede “a equação da conservação da massa, em regime permanente e escoamento incompressível, se reduz a”, a forma habitual e mais direta é a expressão diferencial local .
Passo 7
Conclusão: a resposta mais adequada (forma reduzida da equação de continuidade sob as hipóteses dadas) é a alternativa (d). Força aí — essa é uma das equações-centrais em fluidos e cai muito em prova; lembre-se: forma diferencial
, forma integral equivalente
.
Resposta
(d)