3- A equação da conservação da massa, em regime permanente e escoamento incompressivel, se reduz a
a) \frac{d p}{d t}=0
b) \sum \dot{m}_{\text {centrada }}=\sum \dot{m}_{\text {saida }}
c) \frac{d p}{d t}=0
d) \nabla \cdot \vec{V}=0

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas representa a equação da conservação da massa quando o escoamento é em regime permanente (steady) e incompressível. Informações dadas:
  • Regime permanente: as grandezas não mudam com o tempo.
  • Escoamento incompressível: a densidade do fluido é constante (não varia espacialmente nem temporalmente).
  • Alternativas apresentadas: (a) \frac{d p}{d t}=0, (b) \sum \dot{m}_{\text {entrada }}=\sum \dot{m}_{\text {saída }}í, (c) \frac{d p}{d t}=0 (mesma que (a)), (d) \nabla \cdot \vec{V}=0.

Passo 2

Começo pela forma local geral da equação de conservação da massa (continuidade). A forma geral (para fluidos compressíveis) é:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \vec{V}) = 0.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por unidade de volume).
  • \vec{V} é o campo de velocidade (vetor velocidade, função de posição e tempo).
  • \frac{\partial \rho}{\partial t} é a derivada parcial da densidade em relação ao tempo (variação local da densidade).
  • \nabla\cdot(\rho \vec{V}) é a divergência do vetor fluxo de massa \rho\vec V; mede o fluxo líquido de massa saindo por unidade de volume.
    Fisicamente essa equação diz: variação temporal da massa num volume + fluxo líquido de massa através da superfície = 0.

Passo 3

Agora aplico a hipótese de regime permanente (steady). Regime permanente significa que todas as grandezas observadas num ponto fixo no espaço não variam com o tempo, logo
\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Substituindo na equação geral obtemos:
\nabla\cdot(\rho \vec{V}) = 0.
Isso já é uma forma simplificada (ainda com \rho possivelmente variável espacialmente).

Passo 4

Em seguida uso a hipótese de escoamento incompressível. Incompressibilidade implica que \rho é constante (não depende de t nem de \vec x), portanto podemos tirar \rho da divergência:
\nabla\cdot(\rho \vec{V}) = \rho\,\nabla\cdot\vec{V}.
Como \rho é constante e não nula, da equação \rho\,\nabla\cdot\vec{V}=0 segue
\nabla\cdot\vec{V} = 0.
Interpretação física: a divergência do campo de velocidade é zero, ou seja, num ponto qualquer não há ganho nem perda de volume por unidade de volume — o fluido não “cria” nem “destrói” massa localmente.

Passo 5

Para conectar com a alternativa (b) (soma das massas entrada = soma das massas saída), apresento a forma integral da continuidade, que é útil em volumes de controle:
\frac{d}{dt}\int_{CV} \rho\,dV + \int_{CS} \rho \vec{V}\cdot\vec{n}\,dA = 0,
onde CV é o volume de controle e CS sua superfície, com \vec n a normal exterior. Em regime permanente a derivada temporal some e, para \rho constante (incompressível), isso reduz a
\int_{CS} \vec{V}\cdot\vec{n}\,dA = 0,
que, interpretando como somas discretas de fluxos, corresponde à ideia de que a soma das vazões mássicas que entram é igual à soma das que saem — ou seja, a alternativa (b) é uma forma integral/operacional correta da conservação de massa sob essas hipóteses. Portanto (b) é uma consequência correta na forma integral, válida para um volume de controle.

Passo 6

Agora comparo com as alternativas dadas e justifico a escolha final:
  • (a) e (c): \frac{d p}{d t}=0 tratam de pressão, não são a equação de conservação de massa — estão incorretas no contexto pedido.
  • (b): é verdadeiro como enunciado integral (soma das massas de entrada = soma das massas de saída) sob regime permanente incompressível. É uma forma global/integral da conservação da massa.
  • (d): \nabla\cdot\vec{V}=0 é a forma local/diferencial da conservação da massa para escoamento incompressível e permanente, obtida diretamente das hipóteses aplicadas à equação de continuidade. Quando o enunciado pede “a equação da conservação da massa, em regime permanente e escoamento incompressível, se reduz a”, a forma habitual e mais direta é a expressão diferencial local \nabla\cdot\vec V=0.

Passo 7

Conclusão: a resposta mais adequada (forma reduzida da equação de continuidade sob as hipóteses dadas) é a alternativa (d). Força aí — essa é uma das equações-centrais em fluidos e cai muito em prova; lembre-se: forma diferencial \nabla\cdot\vec V=0, forma integral equivalen­te \sum \dot m_{in}=\sum \dot m_{out}.

Resposta

(d) \nabla \cdot \vec{V}=0

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