Consideração a seguinte transformação de fase:
\alpha \longrightarrow \beta
A fração transformada ( F ) é dada por: F=\frac{V_{\beta}}{V}. Em que V_{\beta} corresponde ao volume da fase \beta e V ao volume total da amostra ( V=V_{\alpha}+V_{\beta} ). Em um tratamento desenvolvido por Avrami, a fração transformada em um função do tempo é dada pela seguinte expressão:
F=1-e^{-k t^{n}}
Determine o valor de n (expoente de Avrami) e k utilizando os dados mostrados na tabela a seguir.
F \mathrm{t}(\mathrm{min})
0.03 2.55
0.14 3.88
0.43 5.35
0.69 6.41
0.80 6.97
0.91 7.74

Passo 1

O enunciado dá a expressão da fração transformada em função do tempo
F = 1 - e^{-k t^{n}}
e pede para determinar os parâmetros \,n (expoente de Avrami) e \,k a partir dos dados da tabela. Os dados fornecidos são (cada linha: F e t em minutos):
\begin{array}{|c|c|} \hline F & t(\text{min})\\\ \hline 0{,}03 & 2{,}55\\\ \hline 0{,}14 & 3{,}88\\\ \hline 0{,}43 & 5{,}35\\\ \hline 0{,}69 & 6{,}41\\\ \hline 0{,}80 & 6{,}97\\\ \hline 0{,}91 & 7{,}74\\\ \hline \end{array}
Informações relevantes listadas:
  • A relação entre F, t, k e n é \,F=1-e^{-k t^{n}}.
  • O volume total não é necessário explicitamente: temos apenas F e t.
  • Precisamos estimar n e k a partir desses pontos experimentais.

Passo 2

Vamos transformar a expressão para obter uma relação linear entre grandezas que possamos ajustar com regressão linear (ou traçar uma reta na prova). Partimos de
F = 1 - e^{-k t^{n}}.
Isolando o exponencial:
1-F = e^{-k t^{n}}.
Tomando log natural e lembrando que 1-F>0 nos pontos dados,
\ln(1-F) = -k t^{n}.
Agora tomamos o log novamente, mas antes multiplicamos por -1:
-\ln(1-F) = k t^{n}.
Aplicando a função \ln em ambos os lados (já que o lado direito é positivo),
\ln\bigl(-\ln(1-F)\bigr) = \ln k + n \ln t.
Esta é uma forma linear do tipo
Y = A + n X,
com as definições
X = \ln t,\qquad Y = \ln\bigl(-\ln(1-F)\bigr),\qquad A=\ln k.
Ou seja: se plotarmos Y versus X, a inclinação da reta é n e o intercepto é \ln k. Esta é a maneira padrão de linearizar a equação de Avrami.
Explicação didática rápida sobre os logaritmos usados:
  • \ln é o logaritmo natural (base e). Ele transforma multiplicações em adições e potências em multiplicações, por isso é útil para linearizar relações exponenciais e de potência.
  • Quando escrevemos \ln(-\ln(1-F)) estamos primeiro computando -\ln(1-F) (positivo), depois tomando o log natural desse resultado para obter uma relação linear com \ln t.

Passo 3

Vamos organizar os dados transformados ponto a ponto. Para cada par (F,t) calculamos:
1-F,\quad -\ln(1-F),\quad X=\ln t,\quad Y=\ln\bigl(-\ln(1-F)\bigr).
Vou calcular cada um com cuidado (valores arredondados às 6 casas decimais quando necessário):
Para F=0{,}03,\; t=2{,}55:
1-F = 0{,}97,\quad -\ln(1-F)=0{,}030459,\quad X=\ln(2{,}55)=0{,}936093,
Y=\ln(0{,}030459)=-3{,}493175.
Para F=0{,}14,\; t=3{,}88:
1-F = 0{,}86,\quad -\ln(1-F)=0{,}150823,\quad X=\ln(3{,}88)=1{,}355835,
Y=\ln(0{,}150823)=-1{,}891136.
Para F=0{,}43,\; t=5{,}35:
1-F = 0{,}57,\quad -\ln(1-F)=0{,}562335,\quad X=\ln(5{,}35)=1{,}677097,
Y=\ln(0{,}562335)=-0{,}575646.
Para F=0{,}69,\; t=6{,}41:
1-F = 0{,}31,\quad -\ln(1-F)=1{,}171183,\quad X=\ln(6{,}41)=1{,}857816,
Y=\ln(1{,}171183)=0{,}158653.
Para F=0{,}80,\; t=6{,}97:
1-F = 0{,}20,\quad -\ln(1-F)=1{,}609438,\quad X=\ln(6{,}97)=1{,}941612,
Y=\ln(1{,}609438)=0{,}476006.
Para F=0{,}91,\; t=7{,}74:
1-F = 0{,}09,\quad -\ln(1-F)=2{,}407946,\quad X=\ln(7{,}74)=2{,}046363,
Y=\ln(2{,}407946)=0{,}878259.
(Se você quiser, dá pra traçar esses pontos Y vs X e ver que eles se alinham aproximadamente numa reta — isso é um bom sinal de que a equação de Avrami descreve bem os dados.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de regressão linear para obter a inclinação n e o intercepto A=\ln k. Para N pontos conhecidos:
n = \frac{N\sum X_i Y_i - \bigl(\sum X_i\bigr)\bigl(\sum Y_i\bigr)}{N\sum X_i^2 - \bigl(\sum X_i\bigr)^2},
A = \frac{\sum Y_i - n \sum X_i}{N}.
Calculamos as somas necessárias usando os valores do passo anterior. Primeiro as somas simples (com N=6):
\sum X_i = 9{,}814816,\qquad \sum Y_i = -4{,}447039.
Somas quadráticas e mistas:
\sum X_i^2 = 16{,}936898,\qquad \sum X_iY_i = -3{,}782776.
(Como cheguei nesses números: somei cada coluna X, Y, X^2 e X\cdot Y ponto a ponto — se você fizer isso na prova com uma calculadora ou folha, é exatamente esse procedimento.)

Passo 5

Substituindo nas fórmulas de regressão:
Calcule o denominador comum:
D = N\sum X_i^2 - \bigl(\sum X_i\bigr)^2 = 6\cdot 16{,}936898 - (9{,}814816)^2 = 5{,}290795.
Calcule o numerador para a inclinação:
N\sum X_iY_i - \bigl(\sum X_i\bigr)\bigl(\sum Y_i\bigr) = 6\cdot(-3{,}782776) - 9{,}814816\cdot(-4{,}447039) = 20{,}950218.
Logo a inclinação (expoente de Avrami) é
n = \frac{20{,}950218}{5{,}290795} \approx 3{,}960.

Passo 6

Agora encontramos o intercepto A=\ln k:
A = \frac{\sum Y_i - n \sum X_i}{N} = \frac{-4{,}447039 - 3{,}960\cdot 9{,}814816}{6} \approx -7{,}21894.
Assim
\ln k = -7{,}21894 \quad\Rightarrow\quad k = e^{-7{,}21894} \approx 7{,}33\times 10^{-4}.
Observações sobre unidades: t estava em minutos, então k tem unidades de \text{min}^{-n}, ou seja, aqui aproximadamente \text{min}^{-3{,}96}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo:
  • Obtivemos \,n\approx 3{,}96, que é muito próximo de 4. Em muitos contextos experimentais o expoente de Avrami costuma ser um número inteiro relacionado à dimensionalidade do crescimento e ao mecanismo de nucleação; portanto é razoável reportar n\approx 4 se desejar uma forma mais simples.
  • O valor de k ficou em torno de 7{,}3\times 10^{-4} (com t em minutos), que é consistente com uma constante de taxa pequena, como normalmente aparece em transformações lentas.
  • Bom trabalho por chegar até aqui! Esses passos (linearizar com \ln[-\ln(1-F)] versus \ln t e ajustar uma reta) são a receita de bolo para problemas de Avrami — memorizando isso você resolve essas questões na prova de forma rápida.

Resposta

n \approx 3{,}96
k \approx 7{,}33\times 10^{-4}\\ \text{min}^{-3{,}96}

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