Consideração a seguinte transformação de fase:
A fração transformada (
) é dada por:
. Em que
corresponde ao volume da fase
e
ao volume total da amostra (
). Em um tratamento desenvolvido por Avrami, a fração transformada em um função do tempo é dada pela seguinte expressão:
Determine o valor de
(expoente de Avrami) e
utilizando os dados mostrados na tabela a seguir.
0.03
2.55
0.14
3.88
0.43
5.35
0.69
6.41
0.80
6.97
0.91
7.74
|
|
|
| 0.03 | 2.55 |
| 0.14 | 3.88 |
| 0.43 | 5.35 |
| 0.69 | 6.41 |
| 0.80 | 6.97 |
| 0.91 | 7.74 |
Passo 1
O enunciado dá a expressão da fração transformada em função do tempo
e pede para determinar os parâmetros
(expoente de Avrami) e
a partir dos dados da tabela. Os dados fornecidos são (cada linha:
e
em minutos):
Informações relevantes listadas:
- A relação entre
, , e é . - O volume total não é necessário explicitamente: temos apenas
e . - Precisamos estimar
e a partir desses pontos experimentais.
Passo 2
Vamos transformar a expressão para obter uma relação linear entre grandezas que possamos ajustar com regressão linear (ou traçar uma reta na prova). Partimos de
Isolando o exponencial:
Tomando log natural e lembrando que
nos pontos dados,
Agora tomamos o log novamente, mas antes multiplicamos por
:
Aplicando a função
em ambos os lados (já que o lado direito é positivo),
Esta é uma forma linear do tipo
com as definições
Ou seja: se plotarmos
versus
, a inclinação da reta é
e o intercepto é
. Esta é a maneira padrão de linearizar a equação de Avrami.
Explicação didática rápida sobre os logaritmos usados:
-
é o logaritmo natural (base ). Ele transforma multiplicações em adições e potências em multiplicações, por isso é útil para linearizar relações exponenciais e de potência. - Quando escrevemos
estamos primeiro computando (positivo), depois tomando o log natural desse resultado para obter uma relação linear com .
Passo 3
Vamos organizar os dados transformados ponto a ponto. Para cada par
calculamos:
Vou calcular cada um com cuidado (valores arredondados às 6 casas decimais quando necessário):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
(Se você quiser, dá pra traçar esses pontos
vs
e ver que eles se alinham aproximadamente numa reta — isso é um bom sinal de que a equação de Avrami descreve bem os dados.)
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de regressão linear para obter a inclinação
e o intercepto
. Para
pontos conhecidos:
Calculamos as somas necessárias usando os valores do passo anterior. Primeiro as somas simples (com
):
Somas quadráticas e mistas:
(Como cheguei nesses números: somei cada coluna
,
,
e
ponto a ponto — se você fizer isso na prova com uma calculadora ou folha, é exatamente esse procedimento.)
Passo 5
Substituindo nas fórmulas de regressão:
Calcule o denominador comum:
Calcule o numerador para a inclinação:
Logo a inclinação (expoente de Avrami) é
Passo 6
Agora encontramos o intercepto
:
Assim
Observações sobre unidades:
estava em minutos, então
tem unidades de
, ou seja, aqui aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo:
- Obtivemos
, que é muito próximo de . Em muitos contextos experimentais o expoente de Avrami costuma ser um número inteiro relacionado à dimensionalidade do crescimento e ao mecanismo de nucleação; portanto é razoável reportar se desejar uma forma mais simples. - O valor de
ficou em torno de (com em minutos), que é consistente com uma constante de taxa pequena, como normalmente aparece em transformações lentas. - Bom trabalho por chegar até aqui! Esses passos (linearizar com
versus e ajustar uma reta) são a receita de bolo para problemas de Avrami — memorizando isso você resolve essas questões na prova de forma rápida.