A espessura da camada de óxido (
) de um determinado material sendo oxidado em atmosfera de oxigênio puro a 1200 K em função do tempo é dada pela seguinte expressão:
a) Qual a taxa de formação da camada de óxido?
b) Considerando
e
, determine a taxa de formação da camada de óxido quando sua espessura é de
.
b) Considerando
Passo 1
O enunciado dá a relação entre a espessura da camada de óxido
(função do tempo
) e o tempo:
Perguntas:
- (a) Qual a taxa de formação da camada de óxido, ou seja, qual é
em termos de , e ? - (b) Para
, e , determine numericamente .
Informações relevantes dadas:
com
e
constantes (unidades compatíveis para que cada termo tenha dimensão de
), e os valores numéricos indicados para a parte (b).
Passo 2
O que é
e como obtê-la aqui?
-
é uma função do tempo: . -
é a derivada temporal de , ou seja, a velocidade (taxa) com que a espessura muda com o tempo.
Para encontrara partir da equação dada usamos diferenciação implícita em relação a : diferenciamos ambos os lados da igualdade considerando que depende de , e que e são constantes.
Passo 3
Diferenciando membro a membro:
- Derivada de
em relação a : apliquei a regra da cadeia; a derivada de em relação a é e depois multiplica-se por . Logo obtém-se . - Derivada de
: é constante, então é . - Derivada de
: como é constante e a variável, obtém-se .
Portanto a diferenciação dá:
Passo 4
Isolando
: fatorando
no membro esquerdo,
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
, o que aqui é verdadeiro pois
e
são positivos),
Esta é a expressão geral para a taxa de formação da camada de óxido em função da espessura
.
Passo 5
Verificação de unidades (checagem rápida): o numerador
tem unidades
e o denominador
tem unidades
, então o quociente tem unidades
, que é coerente para uma taxa de variação de espessura.
Passo 6
Agora calculamos numericamente para os valores dados. Substituindo
temos o denominador
Passo 7
Calcule a taxa:
Fazendo a divisão:
Para ter uma noção mais física:
, então
Resposta
(a)
(b)
(b)