A espessura da camada de óxido ( x ) de um determinado material sendo oxidado em atmosfera de oxigênio puro a 1200 K em função do tempo é dada pela seguinte expressão:
x^{2}+A x=B t
a) Qual a taxa de formação da camada de óxido?
b) Considerando A=0.4 \mu \mathrm{~m} e B=0.045 \mu \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}, determine a taxa de formação da camada de óxido quando sua espessura é de 10 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a espessura da camada de óxido x (função do tempo t) e o tempo:
x^{2}+A x=B t.
Perguntas:
  • (a) Qual a taxa de formação da camada de óxido, ou seja, qual é \dfrac{dx}{dt} em termos de x, A e B?
  • (b) Para A=0{,}4\\ \mu\mathrm{m}, B=0{,}045\\ \mu\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1} e x=10\\ \mu\mathrm{m}, determine numericamente \dfrac{dx}{dt}.
Informações relevantes dadas:
x^{2}+A x=B t,
com A e B constantes (unidades compatíveis para que cada termo tenha dimensão de \mu\mathrm{m}^{2}), e os valores numéricos indicados para a parte (b).

Passo 2

O que é \dfrac{dx}{dt} e como obtê-la aqui?
  • x é uma função do tempo: x=x(t).
  • \dfrac{dx}{dt} é a derivada temporal de x, ou seja, a velocidade (taxa) com que a espessura muda com o tempo.
    Para encontrar \dfrac{dx}{dt} a partir da equação dada usamos diferenciação implícita em relação a t: diferenciamos ambos os lados da igualdade considerando que x depende de t, e que A e B são constantes.

Passo 3

Diferenciando membro a membro:
  • Derivada de x^{2} em relação a t: apliquei a regra da cadeia; a derivada de x^{2} em relação a x é 2x e depois multiplica-se por \dfrac{dx}{dt}. Logo obtém-se 2x\cdot\dfrac{dx}{dt}.
  • Derivada de A x: A é constante, então é A\cdot\dfrac{dx}{dt}.
  • Derivada de B t: como B é constante e t a variável, obtém-se B.
Portanto a diferenciação dá:
2x\frac{dx}{dt}+A\frac{dx}{dt}=B.

Passo 4

Isolando \dfrac{dx}{dt}: fatorando \dfrac{dx}{dt} no membro esquerdo,
\left(2x + A\right)\frac{dx}{dt}=B.
Dividindo ambos os lados por (2x+A) (assumindo 2x+A\neq 0, o que aqui é verdadeiro pois x e A são positivos),
\frac{dx}{dt}=\frac{B}{2x+A}.
Esta é a expressão geral para a taxa de formação da camada de óxido em função da espessura x.

Passo 5

Verificação de unidades (checagem rápida): o numerador B tem unidades \mu\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1} e o denominador 2x+A tem unidades \mu\mathrm{m}, então o quociente tem unidades \mu\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, que é coerente para uma taxa de variação de espessura.

Passo 6

Agora calculamos numericamente para os valores dados. Substituindo
A=0{,}4\\ \mu\mathrm{m},\quad B=0{,}045\\ \mu\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1},\quad x=10\\ \mu\mathrm{m},
temos o denominador
2x+A=2\cdot 10 + 0{,}4 = 20 + 0{,}4 = 20{,}4\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 7

Calcule a taxa:
\frac{dx}{dt}=\frac{0{,}045}{20{,}4}\\ \mu\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Fazendo a divisão:
\frac{dx}{dt}=0{,}00220588235\\ \mu\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\approx 2{,}21\times 10^{-3}\\ \mu\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Para ter uma noção mais física: 1\\ \mu\mathrm{m}=1000\\ \mathrm{nm}, então
\frac{dx}{dt}\approx 2{,}21\\ \mathrm{nm}\,\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{B}{2x+A}.
(b) \displaystyle \frac{dx}{dt}\approx 0{,}00221\\ \mu\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\approx 2{,}21\\ \mathrm{nm}\,\mathrm{s}^{-1}.

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