Uma determinada transformação é descrita pela equação de Avrami em que
. Considerando que
da transformação ocorreu após 100 s , determine o tempo necessário para que
da transformação ocorra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A transformação é descrita pela equação de Avrami com
. - Foi informado que
da transformação ocorreu após . Em notação: . - O pedido: determinar o tempo necessário para que
da transformação ocorra, ou seja, achar tal que .
Passo 2
Apresentando a equação usada (e o que cada símbolo significa): a equação de Avrami dá a fração transformada
em função do tempo
por
onde:
-
é a fração transformada (número entre e ; aqui usaremos a forma percentual quando conveniente), -
é a constante de velocidade da transformação (tem unidades que dependem de ), -
é o tempo (em segundos, aqui), -
é o expoente de Avrami (aqui foi dado ), -
significa a função exponencial .
Como foi dado, a fórmula simplifica para
Isso quer dizer, de forma intuitiva: a fração que ainda não se transformou decai exponencialmente com o tempo, com taxa
.
Passo 3
Usamos o dado experimental
para determinar
. Em forma matemática:
Isolando a exponencial:
Aplicamos o logaritmo natural (função
) dos dois lados — lembre que
e
:
Logo
Comentário didático:
é a função inversa da exponencial;
porque
e
.
Passo 4
Agora queremos
tal que
, isto é
. Escrevendo a equação:
Isolamos a exponencial:
Tomamos
dos dois lados:
Observação:
. Assim
Passo 5
Substituímos o valor de
obtido no Passo 3:
Agora fazemos a conta numérica (mostrando passos para você conseguir fazer na prova sem calculadora racionalizando razões logarítmicas): note que
(log na base 2 de 100). Numericamente,
então
Multiplicando por
:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas no tempo):
.
Passo 6
Interpretação rápida e checagem mental: faz sentido que levará bem mais tempo passar de
para
do que os
iniciais, porque a cauda exponencial torna cada fração adicional cada vez mais demorada. Um jeito rápido de lembrar: para n=1 a evolução é exponencial, então para alcançar frações muito próximas de
o tempo cresce como o logaritmo da razão
.