Uma determinada transformação é descrita pela equação de Avrami em que n=1. Considerando que 50 \% da transformação ocorreu após 100 s , determine o tempo necessário para que 99 \% da transformação ocorra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A transformação é descrita pela equação de Avrami com n=1.
  • Foi informado que 50\% da transformação ocorreu após 100\\ \text{s}. Em notação: X(100)=50\%.
  • O pedido: determinar o tempo necessário para que 99\% da transformação ocorra, ou seja, achar t tal que X(t)=99\%.

Passo 2

Apresentando a equação usada (e o que cada símbolo significa): a equação de Avrami dá a fração transformada X(t) em função do tempo t por
X(t)=1-\exp\!\big(-k\,t^{\,n}\big),
onde:
  • X(t) é a fração transformada (número entre 0 e 1; aqui usaremos a forma percentual quando conveniente),
  • k é a constante de velocidade da transformação (tem unidades que dependem de n),
  • t é o tempo (em segundos, aqui),
  • n é o expoente de Avrami (aqui foi dado n=1),
  • \exp(\cdot) significa a função exponencial e^{(\cdot)}.
    Como foi dado n=1, a fórmula simplifica para
X(t)=1-\exp(-k t).
Isso quer dizer, de forma intuitiva: a fração que ainda não se transformou decai exponencialmente com o tempo, com taxa k.

Passo 3

Usamos o dado experimental X(100)=50\% para determinar k. Em forma matemática:
0{,}50 = 1 - \exp(-k\cdot 100).
Isolando a exponencial:
\exp(-100k)=1-0{,}50=0{,}50.
Aplicamos o logaritmo natural (função \ln) dos dois lados — lembre que \ln(\exp(y))=y e \ln(0{,}5)=-\ln 2:
-100k = \ln(0{,}5) = -\ln 2.
Logo
k = \frac{\ln 2}{100}.
Comentário didático: \ln é a função inversa da exponencial; \ln(0{,}5)=-\ln 2 porque 0{,}5=2^{-1} e \ln(2^{-1})=-1\ln 2.

Passo 4

Agora queremos t tal que X(t)=99\%, isto é X(t)=0{,}99. Escrevendo a equação:
0{,}99 = 1 - \exp(-k t).
Isolamos a exponencial:
\exp(-k t)=1-0{,}99=0{,}01.
Tomamos \ln dos dois lados:
-k t = \ln(0{,}01).
Observação: \ln(0{,}01) = \ln(10^{-2}) = -2\ln 10 = -\ln 100. Assim
t = \frac{\ln 100}{k}.

Passo 5

Substituímos o valor de k obtido no Passo 3:
t = \frac{\ln 100}{\dfrac{\ln 2}{100}} = 100\cdot\frac{\ln 100}{\ln 2}.
Agora fazemos a conta numérica (mostrando passos para você conseguir fazer na prova sem calculadora racionalizando razões logarítmicas): note que \dfrac{\ln 100}{\ln 2}=\log_{2}100 (log na base 2 de 100). Numericamente,
\ln 100 \approx 4{,}605170\quad\text{e}\quad \ln 2 \approx 0{,}693147,
então
\frac{\ln 100}{\ln 2}\approx 6{,}643856.
Multiplicando por 100:
t \approx 100\cdot 6{,}643856 \approx 664{,}3856\\ \text{s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas no tempo): t \approx 664{,}4\\ \text{s}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem mental: faz sentido que levará bem mais tempo passar de 50\% para 99\% do que os 100\\ \text{s} iniciais, porque a cauda exponencial torna cada fração adicional cada vez mais demorada. Um jeito rápido de lembrar: para n=1 a evolução é exponencial, então para alcançar frações muito próximas de 1 o tempo cresce como o logaritmo da razão 1/(1-X).

Resposta

t \approx 664{,}4\\ \text{s}

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