Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de theta e P, deduza as equações:
\quad\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P}=C_{P}-P V \beta.

Passo 1

O enunciado diz que a energia interna U de um sistema hidrostático pode ser vista como função de \theta e P:
U = U(\theta,P).
Queremos calcular
\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P}
e expressá-lo em termos do calor específico a pressão constante C_{P} e do coeficiente de expansão volumétrica \beta.

Passo 2

Introduzimos a entalpia H, definida por
H = U + P\,V.
Diferenciando, usando dU = T\,dS - P\,dV (primeira lei em processo reversível) e o produto P\,V, obtém-se
dH = dU + P\,dV + V\,dP = T\,dS - P\,dV + P\,dV + V\,dP = T\,dS + V\,dP.

Passo 3

Pelo significado de calor específico a pressão constante, temos
C_{P} = \left(\frac{\partial H}{\partial \theta}\right)_{P} = T\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)_{P},
pois em dH a variação de pressão está suprimida quando tomamos a derivada parcial em P constante.

Passo 4

Como H = U + P\,V, derivando em \theta a P constante segue
\left(\frac{\partial H}{\partial \theta}\right)_{P} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} + P\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P}.
Logo, isolando \bigl(\partial U/\partial \theta\bigr)_{P},
\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} = \left(\frac{\partial H}{\partial \theta}\right)_{P} - P\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P} = C_{P} - P\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P}.

Passo 5

Por definição, o coeficiente de expansão volumétrica é
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P},
ou seja \bigl(\partial V/\partial \theta\bigr)_{P} = V\,\beta. Substituindo na expressão anterior resulta
\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} = C_{P} - P\,V\,\beta.

Resposta

\boxed{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} = C_{P} - P\,V\,\beta.}

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