Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de theta e P, deduza as equações:
\quad \mathrm{d} Q=\left[\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P}\right] d \theta+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta}+P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}\right] d P.

Passo 1

O enunciado diz que a energia interna U de um sistema hidrostático é função de \theta e P, ou seja
U = U(\theta,P).
Queremos deduzir uma expressão para a quantidade de calor trocada \mathrm{d}Q em função dos diferenciais \mathrm{d}\theta e \mathrm{d}P. Para isso vamos usar a primeira lei da termodinâmica e o conceito de diferencial total de funções de duas variáveis.

Passo 2

Pela primeira lei da termodinâmica, a variação de calor em um processo infinitesimal satisfaz
\mathrm{d}Q = \mathrm{d}U + \delta W.
Num sistema hidrostático o trabalho infinitesimal de pressão é \delta W = P\,\mathrm{d}V. Logo
\mathrm{d}Q = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V.

Passo 3

Como U e V são funções de \theta e P, seus diferenciais totais são
\mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} \mathrm{d}\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} \mathrm{d}P,
\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P} \mathrm{d}\theta + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta} \mathrm{d}P.

Passo 4

Substituindo essas expressões em \mathrm{d}Q = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V e agrupando os termos em \mathrm{d}\theta e em \mathrm{d}P, obtemos
\mathrm{d}Q = \biggl[\bigl(\tfrac{\partial U}{\partial \theta}\bigr)_{P} +P\bigl(\tfrac{\partial V}{\partial \theta}\bigr)_{P}\biggr]\mathrm{d}\theta +\biggl[\bigl(\tfrac{\partial U}{\partial P}\bigr)_{\theta} +P\bigl(\tfrac{\partial V}{\partial P}\bigr)_{\theta}\biggr]\mathrm{d}P.

Resposta

\mathrm{d}Q =\left[\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P} +P\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P}\right]\mathrm{d}\theta +\left[\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} +P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}\right]\mathrm{d}P.

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