Considerando uma transformação adiabática e reversível de um gás ideal, demonstre que
p1 V1^gamma=p2 V2^gamma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em uma transformação adiabática e reversível de um gás ideal, vale
p1V1^gamma=p2V2^gamma
Aqui o que precisamos é a primeira lei da termodinâmica para processos sem troca de calor ( dQ=0), a expressão de energia interna de um gás ideal e a equação de estado pV=RT. Além disso, usamos o calor específico cv, cp e o coeficiente adiabático gamma=tfraccpcv.

Passo 2

Para um processo adiabático reversível temos dQ=0. Pela primeira lei
dU + p,dV = 0
Como para gás ideal dU = cv,dT, isso fica
cv,dT + p,dV = 0

Passo 3

Substituímos p pela equação de estado p = tfracR,TV, obtendo
cv,dT + R,TV,dV = 0

Passo 4

Dividindo tudo por cvT e lembrando que tfracRcv= gamma -1, vem
dTT + (gamma-1),dVV = 0
Integramos entre os estados 1 e 2:
integralT1^T2dTT + (gamma-1)integralV1^V2dVV =0 Longrightarrow lnT2T1 + (gamma-1)lnV2V1=0
Isso dá
lnl(T,V^gamma-1r)=constante Longrightarrow T,V^gamma-1=constante

Passo 5

Usando T=pVR nessa constante:
pVR;V^gamma-1=constante Longrightarrow p,V^gamma=constante
Logo, entre os dois estados vale
p1V1^gamma=p2V2^gamma

Resposta

p1V1^gamma=p2V2^gamma

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