2- Considere um ciclo de Otto entre os volumes
e
. Supondo que o sistema auxiliar seja um gás ideal monoatômico, mostre que o rendimento é dado por
Passo 1
O enunciado dá um ciclo de Otto que ocorre entre dois volumes
e
com
. O fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico (sistema auxiliar). A tarefa é mostrar que o rendimento térmico do ciclo é
Informações relevantes fornecidas:
- Volumes extremos do ciclo:
(maior) e (menor). - Fluido: gás ideal monoatômico (isso dá valores fixos para
, e ).
O que se pede: demonstrar a expressão do rendimentoem função de e .
Passo 2
Descrever o ciclo de Otto e identificar onde ocorrem trocas de calor (isso é importante para calcular
e
).
Um ciclo de Otto ideal segue quatro processos reversíveis e adiabáticos/isocóricos, em ordem:
-
: compressão adiabática reversível de volume para . -
: aquecimento isocórico (volume constante ) — entra calor . -
: expansão adiabática reversível de para . -
: resfriamento isocórico (volume constante ) — sai calor .
Observação prática: os únicos processos em que há troca de calor são os dois isocóricos (
e
); por isso
e
ocorrem nesses trechos.
Passo 3
Definir rendimento térmico do ciclo e expressar
e
em termos de temperaturas.
O rendimento térmico de um motor térmico é
No ciclo de Otto, as trocas de calor são a volume constante, portanto usamos a relação para calor a volume constante:
onde:
-
é o número de mols do gás, -
é a capacidade calorífica molar a volume constante, -
é a variação de temperatura no processo isocórico.
Assim:
Logo a eficiência fica
Aqui
são as temperaturas nos estados 1,2,3,4 respectivamente.
Passo 4
Usar as propriedades do gás ideal monoatômico e a relação adiabática para relacionar temperaturas com volumes.
Para um gás ideal monoatômico:
onde
é a constante universal dos gases. A razão adiabática é
Para processos adiabáticos reversíveis de gás ideal vale a relação
Aplicando isso ao trecho
(adiabático, volumes
):
Aplicando ao trecho
(adiabático, volumes
):
Estas duas relações conectam
com
e
com
usando apenas os volumes e
.
Passo 5
Substituir as expressões de
e
na fórmula do rendimento e simplificar.
Defina a razão de compressão
Então, usando as relações do passo anterior:
Colocando na expressão da eficiência:
Passo 6
Fazer a manipulação algébrica que cancela as temperaturas desconhecidas e deixa só
e
.
Para facilitar, defina
. Então
e
. A expressão do passo anterior fica
Multiplicando numerador e denominador da fração por
(uma operação válida porque
):
Portanto
Observação importante: as temperaturas
e
desapareceram da expressão final — isso mostra que o rendimento do ciclo Otto ideal depende apenas da razão de compressão
e de
, não da quantidade de calor adicionada.
Passo 7
Trocar
por volumes
e usar o valor de
para gás monoatômico.
Lembrando
, a fórmula fica
Para gás ideal monoatômico
, então
Substituindo: