2- Considere um ciclo de Otto entre os volumes V_{A} e V_{B}\left(\operatorname{com} V_{B}<V_{A}\right). Supondo que o sistema auxiliar seja um gás ideal monoatômico, mostre que o rendimento é dado por
\eta=1-\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{2 / 3} .

Passo 1

O enunciado dá um ciclo de Otto que ocorre entre dois volumes V_{A} e V_{B} com V_{B}<V_{A}. O fluido de trabalho é um gás ideal monoatômico (sistema auxiliar). A tarefa é mostrar que o rendimento térmico do ciclo é
\eta = 1 - \left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{2/3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Volumes extremos do ciclo: V_{A} (maior) e V_{B} (menor).
  • Fluido: gás ideal monoatômico (isso dá valores fixos para C_V, C_P e \gamma).
    O que se pede: demonstrar a expressão do rendimento \eta em função de V_A e V_B.

Passo 2

Descrever o ciclo de Otto e identificar onde ocorrem trocas de calor (isso é importante para calcular Q_{in} e Q_{out}).
Um ciclo de Otto ideal segue quatro processos reversíveis e adiabáticos/isocóricos, em ordem:
  1. 1\to2: compressão adiabática reversível de volume V_{A} para V_{B}.
  2. 2\to3: aquecimento isocórico (volume constante V_{B}) — entra calor Q_{in}.
  3. 3\to4: expansão adiabática reversível de V_{B} para V_{A}.
  4. 4\to1: resfriamento isocórico (volume constante V_{A}) — sai calor Q_{out}.
Observação prática: os únicos processos em que há troca de calor são os dois isocóricos ( 2\to3 e 4\to1); por isso Q_{in} e Q_{out} ocorrem nesses trechos.

Passo 3

Definir rendimento térmico do ciclo e expressar Q_{in} e Q_{out} em termos de temperaturas.
O rendimento térmico de um motor térmico é
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}.
No ciclo de Otto, as trocas de calor são a volume constante, portanto usamos a relação para calor a volume constante:
Q = n C_{V} \Delta T,
onde:
  • n é o número de mols do gás,
  • C_{V} é a capacidade calorífica molar a volume constante,
  • \Delta T é a variação de temperatura no processo isocórico.
Assim:
Q_{\text{in}} = n C_{V} \left(T_{3}-T_{2}\right), \qquad Q_{\text{out}} = n C_{V} \left(T_{4}-T_{1}\right).
Logo a eficiência fica
\eta = 1 - \frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}}.
Aqui T_1,T_2,T_3,T_4 são as temperaturas nos estados 1,2,3,4 respectivamente.

Passo 4

Usar as propriedades do gás ideal monoatômico e a relação adiabática para relacionar temperaturas com volumes.
Para um gás ideal monoatômico:
C_{V} = \frac{3}{2}R,\qquad C_{P} = \frac{5}{2}R,
onde R é a constante universal dos gases. A razão adiabática é
\gamma := \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}.
Para processos adiabáticos reversíveis de gás ideal vale a relação
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Aplicando isso ao trecho 1\to2 (adiabático, volumes V_{A}\to V_{B}):
T_{1} V_{A}^{\gamma-1} = T_{2} V_{B}^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad T_{2} = T_{1}\left(\frac{V_{A}}{V_{B}}\right)^{\gamma-1}.
Aplicando ao trecho 3\to4 (adiabático, volumes V_{B}\to V_{A}):
T_{3} V_{B}^{\gamma-1} = T_{4} V_{A}^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad T_{4} = T_{3}\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}.
Estas duas relações conectam T_2 com T_1 e T_4 com T_3 usando apenas os volumes e \gamma.

Passo 5

Substituir as expressões de T_{2} e T_{4} na fórmula do rendimento e simplificar.
Defina a razão de compressão
r := \frac{V_{A}}{V_{B}}>1.
Então, usando as relações do passo anterior:
T_{2} = T_{1}\,r^{\gamma-1}, \qquad T_{4} = T_{3}\,r^{-(\gamma-1)}.
Colocando na expressão da eficiência:
\eta = 1 - \frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}} = 1 - \frac{T_{3}r^{-(\gamma-1)} - T_{1}}{T_{3} - T_{1}r^{\gamma-1}}.

Passo 6

Fazer a manipulação algébrica que cancela as temperaturas desconhecidas e deixa só r e \gamma.
Para facilitar, defina a := r^{\gamma-1}. Então T_{2}=T_{1}a e T_{4}=T_{3}/a. A expressão do passo anterior fica
\eta = 1 - \frac{T_{3}/a - T_{1}}{T_{3} - T_{1}a}.
Multiplicando numerador e denominador da fração por a (uma operação válida porque a>0):
\eta = 1 - \frac{T_{3} - a T_{1}}{a\bigl(T_{3} - a T_{1}\bigr)} = 1 - \frac{1}{a}.
Portanto
\eta = 1 - a^{-1} = 1 - r^{-(\gamma-1)}.
Observação importante: as temperaturas T_1 e T_3 desapareceram da expressão final — isso mostra que o rendimento do ciclo Otto ideal depende apenas da razão de compressão r e de \gamma, não da quantidade de calor adicionada.

Passo 7

Trocar r por volumes V_A,V_B e usar o valor de \gamma para gás monoatômico.
Lembrando r = V_{A}/V_{B}, a fórmula fica
\eta = 1 - \left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}.
Para gás ideal monoatômico \gamma = 5/3, então
\gamma-1 = \frac{5}{3}-1 = \frac{2}{3}.
Substituindo:
\eta = 1 - \left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{2/3}.

Resposta

\eta=1-\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{2 / 3}

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