1- A equação fundamental de determinado fluido é dada pela expressão
em que
é uma constante. Dois moles deste fluido são utilizados como sistema auxiliar num ciclo de Carnot, operando entre dois reservatórios térmicos a
e
, repectivamente. Na primeira expansão isotérmica são extraídos
do reservatório quente. Obtenha as transferências de calor e o trabalho realizado em cada uma das etapas desse ciclo de Carnot. A partir desses resultados, obtenha o valor do rendimento do ciclo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Equação fundamental do fluido (energia interna
em função de ): com . - Número de mols do sistema:
. - O ciclo de Carnot opera entre os reservatórios:
- Na primeira expansão isotérmica (a
) o sistema recebe (o enunciado diz “extraídos do reservatório quente”, ou seja, o sistema absorve ).
- Equação fundamental do fluido (energia interna
-
O que o enunciado pede:
- Obter as transferências de calor e o trabalho realizado em cada uma das quatro etapas do ciclo de Carnot (1: isotérmica a
; 2: adiabática reversível ; 3: isotérmica a ; 4: adiabática reversível ). - A partir desses resultados, obter o rendimento do ciclo.
- Obter as transferências de calor e o trabalho realizado em cada uma das quatro etapas do ciclo de Carnot (1: isotérmica a
Passo 2
Primeiro: montar relações termodinâmicas básicas que vamos usar e extrair propriedades do fluido a partir da equação fundamental.
-
Conceito rápido (lembrando passo a passo): a energia interna é função de
. As variáveis termodinâmicas conjugadas são definidas por derivadas parciais: Para processos reversíveis a primeira lei dá. Para processos à constante usamos . O calor reversível é . -
Reescrevendo a equação dada isolando
. Da equação temosPara não repetir a constante toda vez, defina, então . -
Calcular a temperatura usando
: Substituindode volta, -
Isolar
em função de e : (tomamos o ramo positivo porqueaparece ao cubo na original; basta manter coerência de sinais). -
Expressão muito útil que aparece simplificando
: usando e obtemos Assim, fórmula prática:Esta identidade é central para os cálculos seguintes.
Passo 3
Deduzir consequências desta estrutura para processos isotérmicos e adiabáticos.
-
Isotérmico reversível (temperatura
constante): - O calor trocado é
. Para uma transformação isotérmica entre dois estados , - A variação da energia interna usando
com constante dá - Assim, o trabalho realizado pela sistema na isotérmica (pela 1ª lei
) é - Conclusão importante e prática: para qualquer isotérmica reversível deste fluido, o trabalho realizado pela substância vale
do calor trocado nessa isotérmica, e a variação de energia interna é do calor trocado.
- O calor trocado é
-
Adiabático reversível (isentrópico,
): - Para adiabática reversível
e, portanto, ; a entropia é constante. - Como
é constante, da expressão com fixo obtemos que ao longo da adiabática; explicitamente, para dois pontos sobre a mesma adiabática: - Assim, se de
para ocorre adiabática com , então - O trabalho feito na adiabática é
(porque ).
- Para adiabática reversível
Passo 4
Aplicar as relações anteriores à etapa 1 (isotérmica quente,
).
-
A variação de entropia na isotérmica quente é(mantemos a forma simbólica e calculamos numérico abaixo).
-
Pela regra da Seção anterior:
- Calculemos numericamente
:
(Resumo etapa 1)
-
. -
. -
. -
.
Passo 5
Etapa 2: adiabática reversível
(sem troca de calor),
cai de
para
.
- Transferência de calor:
. - Entropia:
(adiabática reversível). - Como visto, sobre essa adiabática
escala com : - Logo a variação de energia interna na adiabática é
- O trabalho realizado pela substância na adiabática (trabalho na expansão) é
Esta expressão envolve . Podemos expressar em termos de e de , usando : Então - Observação: não temos
numérico (não foi dado ou ), então fica expresso em função de . Mais adiante veremos que não precisamos do valor de para o rendimento do ciclo e para a soma total dos trabalhos adiabáticos.
Passo 6
Etapa 3: isotérmica fria
à temperatura
.
- Como o ciclo é reversível, a entropia recupera o valor inicial:
. Portanto o calor trocado pela substância na isotérmica fria é Definindo obtemos a relação usual de Carnot: - Numericamente,
(o sinal: é negativo porque o sistema rejeita calor). - Pela regra da Seção 3 para isotérmicas:
- Valores numéricos aproximados:
Passo 7
Etapa 4: adiabática reversível
(compressão até voltar a
).
- Transferência de calor:
. - Entropia:
. - Pela mesma relação de proporcionalidade de
com em adiabática, e usando as expressões já encontradas, podemos relacionar e . Uma simplificação útil surge se calcularmos : - Já tínhamos
e . - Substituindo
e obtemos (álgebra direta) - Assim, na adiabática compressiva
sobe-se de para .
- Já tínhamos
- A variação de energia interna é
- Como
, o trabalho feito pela substância (neste caso trabalho negativo, porque é compressão feita sobre o sistema) é
Passo 8
Soma, trabalho líquido e rendimento do ciclo.
-
Trabalho líquido total do ciclo (pelo balanço de energia) éNumericamente:
-
Já tínhamos os trabalhos nas isotérmicas; a soma dos trabalhos das duas adiabáticas vale a diferença entre o trabalho líquido e a soma dos trabalhos isotérmicos. Mais simples: pode-se mostrar diretamente (usando
s) que a soma dos trabalhos adiabáticos é Numericamente:E de forma separada (veja Passos 5 e 7) temos expressões em função dee : A soma dessas duas expressões dácomo dito. -
Rendimento do ciclo de Carnot (definição):Numericamente,
Resumo final dos valores (numéricos e expressões úteis)
-
- Etapa 1 (isotérmica a
):
- Etapa 2 (adiabática
):
- Etapa 3 (isotérmica a
):
- Etapa 4 (adiabática
): - Soma das adiabáticas:
- Trabalho líquido e rendimento:
Resposta
Etapa 1 (isotérmica a
):
,
.
Etapa 2 (adiabática ):
,
.
Etapa 3 (isotérmica a ):
,
.
Etapa 4 (adiabática ):
,
.
Trabalho líquido: .
Rendimento: .
Etapa 2 (adiabática
Etapa 3 (isotérmica a
Etapa 4 (adiabática
Trabalho líquido:
Rendimento: