9.182E An expander receives 1 \mathrm{lbm} / \mathrm{s} air at 300 psia , 540 R with an exit state of 60 psia, 540 R. Assume that the process is reversible and isothermal. Find the rates of heat transfer and work, neglecting kinetic and potential energy changes.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Vazão mássica: \dot{m}=1\\ \mathrm{lbm/s}.
  • Estado de entrada: pressão p_1=300\\ \mathrm{psia}, temperatura T_1=540\\ \mathrm{R}.
  • Estado de saída: pressão p_2=60\\ \mathrm{psia}, temperatura T_2=540\\ \mathrm{R}.
  • O processo é reversível e isotérmico.
  • Desprezar variações de energia cinética e potencial.
  • Pedidos: taxas de transferência de calor e de trabalho (potências).
    Todas as informações relevantes do enunciado estão listadas acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estratégia de solução (explicada de forma direta): para um escoamento estacionário em uma máquina (expansor) a equação da primeira lei por unidade de tempo, desprezando variações de energia cinética e potencial, é
\dot{Q}-\dot{W}=\dot{m}\,(h_2-h_1).
Aqui \dot{Q} é a taxa de calor adicionada ao fluido e \dot{W} é a taxa de trabalho realizado pelo fluido (convenção: trabalho realizado pelo sistema positivo). Como temos processo isotérmico e o fluido é ar (que trataremos como gás ideal), a entalpia específica h depende essencialmente da temperatura. Para um gás ideal, h=h(T); assim, se T_2=T_1 então h_2=h_1 e
\dot{m}\,(h_2-h_1)=0 \quad\Rightarrow\quad \dot{Q}=\dot{W}.
Portanto, as taxas de calor e trabalho têm a mesma magnitude. Agora precisamos calcular essa magnitude. Vou mostrar duas formas clássicas (a que vamos usar é direta e simples): usar a relação termodinâmica reversível isotérmica para gás ideal ou integrar a expressão apropriada. Vou usar a relação com entropia porque é direta e pedagógica.

Passo 3

Relembrando um resultado útil (aula curta): para um processo reversível isotérmico de um gás ideal, a transferência de calor por unidade de massa é
q = T\,(s_2-s_1).
E para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados é dada por
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
As letras significam:
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{R} aqui),
  • s é entropia específica ( \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)} se usarmos Btu),
  • c_p é calor específico a pressão constante,
  • R é a constante específica do gás (para o ar).
    Como o processo é isotérmico ( T_2=T_1), a primeira parcela some e ficamos com
s_2-s_1 = -R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=R\ln\!\left(\frac{p_1}{p_2}\right).
Logo, por unidade de massa,
q = T\,(s_2-s_1)=R\,T\ln\!\left(\frac{p_1}{p_2}\right).
Essa é a fórmula chave por massa para calor (e, neste caso, para trabalho por massa).

Passo 4

Escolha e valor de R (unidades consistentes) e cálculo por massa:
  • Para o ar, a constante específica é aproximadamente \displaystyle R=53{,}35\\ \mathrm{ft\! \cdot lbf/(lbm\cdot R)}.
  • É conveniente trabalhar em \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)} porque Btu é unidade de energia comum em problemas em unidades inglesas; a conversão é
1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{53{,}35}{778{,}169}=0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)}.
Agora aplicamos a fórmula por massa:
w\\ \text{(por massa)}=q=R\,T\ln\!\left(\frac{p_1}{p_2}\right).
Substituindo R=0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)}, T=540\\ \mathrm{R} e \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{300}{60}=5, temos passos numéricos:
R\,T=0{,}06855\times 540 = 37{,}017\\ \mathrm{Btu/lbm},
\ln(5)=1{,}60944,
w = 37{,}017\times 1{,}60944 = 59{,}56\\ \mathrm{Btu/lbm}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Converter para taxa (potência) usando \dot{m}=1\\ \mathrm{lbm/s}:
\dot{W}=\dot{m}\,w = 1\times 59{,}56 = 59{,}56\\ \mathrm{Btu/s}.
Como \dot{Q}=\dot{W}, também
\dot{Q}=59{,}56\\ \mathrm{Btu/s}.
Agora converto para unidades mais usuais:
  • Para watts/kW: 1\\ \mathrm{Btu}=1055{,}05585\\ \mathrm{J}, então
59{,}56\\ \mathrm{Btu/s}=59{,}56\times 1055{,}05585\\ \mathrm{W}=62\,836\\ \mathrm{W}\approx 62{,}84\\ \mathrm{kW}.
  • Para cavalos-vapor (hp): primeiro convertemos para \mathrm{ft\cdot lbf/s}: 59{,}56\times 778{,}169=46\,353\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}. Como 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s},
46\,353/550 = 84{,}28\\ \mathrm{hp}.

Passo 6

Interpretação do sinal (motivação para a prova): o fluido se expande de 300 para 60\\ \mathrm{psia} mantendo a temperatura, ou seja, está realizando trabalho no eixo (ou no exterior). Pela nossa convenção, trabalho realizado pelo sistema é positivo e calor fornecido ao sistema também é positivo. Como a entalpia não mudou, a energia térmica fornecida ao fluido ( \dot{Q}) é exatamente igual à energia mecânica fornecida pelo fluido ( \dot{W}). Portanto devemos reportar que:
  • \dot{W} (trabalho realizado pelo expander) é 59{,}56\\ \mathrm{Btu/s} (positivo, saída de trabalho),
  • \dot{Q} (calor fornecido ao ar) é 59{,}56\\ \mathrm{Btu/s} (positivo, calor entrando no sistema).

Resposta

\dot{Q}=59{,}56\\ \mathrm{Btu/s}=62{,}84\\ \mathrm{kW}=84{,}28\\ \mathrm{hp}\n
\dot{W}=59{,}56\\ \mathrm{Btu/s}=62{,}84\\ \mathrm{kW}=84{,}28\\ \mathrm{hp}

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