Considere a equação de estado de Berthelot:
Obtenha as expressões para a fugacidade e o coeficiente de fugacidade de uma substância pura.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem a equação de estado de Berthelot:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ é a temperatura, $ v $ é o volume molar, e $ R $ é a constante dos gases ideais. Os parâmetros $ a $ e $ b $ são constantes específicas da substância.
O exercício quer que a gente encontre as expressões para a fugacidade ($ \phi
\phi $).
Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como fugacidade, que é uma medida da “efetividade” da pressão real de uma substância em comparação com um gás ideal, e o coeficiente de fugacidade, que relaciona a fugacidade com a pressão real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fugacidade ($ \phi $) pode ser calculada usando a integral da função que relaciona a diferença entre a equação de estado real e a do gás ideal. A fórmula geral para a fugacidade é:
Onde $ Z $ é o fator de compressibilidade, $ Z = \frac{P v}{R T} $.
No nosso caso, vamos precisar reescrever a equação de Berthelot em termos de $ Z $.
Passo 3
Vamos começar encontrando o fator de compressibilidade $ Z $ a partir da equação de Berthelot:
Multiplicando ambos os lados por $ v $:
Agora, dividindo ambos os lados por $ R T $:
Então, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para $ Z - 1 $:
Então,
Mas sabemos que $ P $ da equação de Berthelot é:
Vamos substituir esse valor na expressão acima:
Passo 5
Para simplificar a integral da fugacidade, assumimos que $ P^{\circ} $ é uma pressão de referência onde $ \phi = 1 $. Então, a integral fica de 0 a $ P $ considerando mudanças suaves na pressão.
Vamos considerar que a temperatura $ T $ é constante durante o processo. Assim, podemos integrar em termos de $ v $.
A expressão para $ \ln \phi $ fica:
Mas isso pode ser complicado, então vamos usar uma aproximação assumindo que a interação entre as partículas pode ser tratada de forma linear. Com isso, podemos escrever:
Passo 6
Agora, expondemos a expressão para a fugacidade $ \phi $:
Essa é a expressão para a fugacidade da substância pura usando a equação de Berthelot.
Passo 7
O coeficiente de fugacidade $ \phi $ (normalmente representado por $ \phi $) é definido como a relação entre a fugacidade $ \phi $ e a pressão $ P $:
Mas, na verdade, o coeficiente de fugacidade é dado por $ \ln \phi = \frac{b}{v} - \frac{a}{R T^{2} v^{2}} $. Portanto, podemos expressar o coeficiente de fugacidade como:
Resposta
As expressões para a fugacidade ($ \phi
\ln \phi $) de uma substância pura, usando a equação de estado de Berthelot, são:
e