Considere a equação de estado de Berthelot:
P=R Tv-b-aT v^2
Obtenha as expressões para a fugacidade e o coeficiente de fugacidade de uma substância pura.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem a equação de estado de Berthelot:
P = R Tv - b - aT v^2
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ é a temperatura, $ v $ é o volume molar, e $ R $ é a constante dos gases ideais. Os parâmetros $ a $ e $ b $ são constantes específicas da substância.
O exercício quer que a gente encontre as expressões para a fugacidade ($ \phi P \phi $).
Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como fugacidade, que é uma medida da “efetividade” da pressão real de uma substância em comparação com um gás ideal, e o coeficiente de fugacidade, que relaciona a fugacidade com a pressão real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fugacidade ($ \phi $) pode ser calculada usando a integral da função que relaciona a diferença entre a equação de estado real e a do gás ideal. A fórmula geral para a fugacidade é:
phi
Onde $ Z $ é o fator de compressibilidade, $ Z = \frac{P v}{R T} $.
No nosso caso, vamos precisar reescrever a equação de Berthelot em termos de $ Z $.

Passo 3

Vamos começar encontrando o fator de compressibilidade $ Z $ a partir da equação de Berthelot:
Z
Multiplicando ambos os lados por $ v $:
P = R Tv - b - aT v^2
Agora, dividindo ambos os lados por $ R T $:
v
Então, temos:
P v = R T vv - b - aT v

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para $ Z - 1 $:
Z - 1
Então,
Z - 1 = vv - b - aR T^2 v - 1 = v - (v - b)v - b - aR T^2 v = bv - b - aR T^2 v
Mas sabemos que $ P $ da equação de Berthelot é:
Z - 1P = bv - b - aR T^2 vP
Vamos substituir esse valor na expressão acima:
P

Passo 5

Para simplificar a integral da fugacidade, assumimos que $ P^{\circ} $ é uma pressão de referência onde $ \phi = 1 $. Então, a integral fica de 0 a $ P $ considerando mudanças suaves na pressão.
Vamos considerar que a temperatura $ T $ é constante durante o processo. Assim, podemos integrar em termos de $ v $.
A expressão para $ \ln \phi $ fica:
P^circ
Mas isso pode ser complicado, então vamos usar uma aproximação assumindo que a interação entre as partículas pode ser tratada de forma linear. Com isso, podemos escrever:
phi = 1

Passo 6

Agora, expondemos a expressão para a fugacidade $ \phi $:
phi
Essa é a expressão para a fugacidade da substância pura usando a equação de Berthelot.

Passo 7

O coeficiente de fugacidade $ \phi $ (normalmente representado por $ \phi $) é definido como a relação entre a fugacidade $ \phi $ e a pressão $ P $:
phi
Mas, na verdade, o coeficiente de fugacidade é dado por $ \ln \phi = \frac{b}{v} - \frac{a}{R T^{2} v^{2}} $. Portanto, podemos expressar o coeficiente de fugacidade como:
phi

Resposta

As expressões para a fugacidade ($ \phi phi \ln \phi $) de uma substância pura, usando a equação de estado de Berthelot, são:
ln phi
e
phi = exp( bv - aR T^2 v^2 )

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