Considere as equações de estado
Determine
c a equação fundamental sabendo-se que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas relações entre as variáveis termodinâmicas:
e pede duas coisas: (i) determinar a função
sabendo que
; (ii) determinar a equação fundamental (ou seja, a função entropia
até uma constante aditiva).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis independentes são
e (energia interna específica e volume específico, respectivamente). - As grandezas
e aparecem nas combinações e . - A condição adicional é
.
Passo 2
Relação básica que vamos usar (explicada): existe uma função entropia
cuja diferencial total é dada por
Isto significa que
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e que
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo). Em símbolos:
Aqui explicando cada coisa:
-
é a entropia expressa como função de e . -
significa a variação de quando varia e fica fixo. - As expressões dadas no enunciado podem portanto ser interpretadas como essas derivadas parciais conhecidas.
Passo 3
Aplicando isso às expressões do enunciado obtemos:
Para que exista uma função
bem definida e duas vezes diferenciável, as derivadas mistas devem ser iguais (condição de integrabilidade / teorema de Schwarz):
Vamos calcular cada lado.
Passo 4
Calcular as derivadas mistas:
pois
é independente de
e a derivada de
em relação a
é
.
pois
é independente de
e a derivada de
em relação a
é
.
Igualando as duas expressões por integrabilidade:
Passo 5
Integrando
em relação a
temos
onde
é uma constante de integração. Usando a condição fornecida
obtemos
Portanto
Passo 6
Agora obtemos a equação fundamental
integrando as derivadas parciais. Comece integrando
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração relativa à integração em
). Para determinar
, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
conhecida:
deve ser igual a
Comparando termos obtemos
. Integrando em
:
Substituindo em
temos a equação fundamental (até uma constante aditiva arbitrária):
Passo 7
Verificação rápida (checagem): calculando as derivadas parciais de
obtidas:
que coincidem com as expressões originais (com
), logo está consistente.