Considere as equações de estado
\frac{1}{T}=\frac{a}{u}+b v, \quad \frac{p}{T}=\frac{c}{v}+f(u) .
Determine f(u) c a equação fundamental sabendo-se que f(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá duas relações entre as variáveis termodinâmicas:
\frac{1}{T}=\frac{a}{u}+b\,v,\qquad \frac{p}{T}=\frac{c}{v}+f(u),
e pede duas coisas: (i) determinar a função f(u) sabendo que f(0)=0; (ii) determinar a equação fundamental (ou seja, a função entropia s(u,v) até uma constante aditiva).
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis independentes são u e v (energia interna específica e volume específico, respectivamente).
  • As grandezas T e p aparecem nas combinações \dfrac{1}{T} e \dfrac{p}{T}.
  • A condição adicional é f(0)=0.

Passo 2

Relação básica que vamos usar (explicada): existe uma função entropia s(u,v) cuja diferencial total é dada por
\mathrm{d}s=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}u+\frac{p}{T}\,\mathrm{d}v.
Isto significa que \dfrac{1}{T} é a derivada parcial de s em relação a u (mantendo v fixo) e que \dfrac{p}{T} é a derivada parcial de s em relação a v (mantendo u fixo). Em símbolos:
\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right)_{v}=\frac{1}{T},\qquad \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{u}=\frac{p}{T}.
Aqui explicando cada coisa:
  • s(u,v) é a entropia expressa como função de u e v.
  • \left(\dfrac{\partial s}{\partial u}\right)_{v} significa a variação de s quando u varia e v fica fixo.
  • As expressões dadas no enunciado podem portanto ser interpretadas como essas derivadas parciais conhecidas.

Passo 3

Aplicando isso às expressões do enunciado obtemos:
\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right)_{v}=\frac{a}{u}+b\,v, \qquad \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{u}=\frac{c}{v}+f(u).
Para que exista uma função s(u,v) bem definida e duas vezes diferenciável, as derivadas mistas devem ser iguais (condição de integrabilidade / teorema de Schwarz):
\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right) = \frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right).
Vamos calcular cada lado.

Passo 4

Calcular as derivadas mistas:
\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right) =\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{a}{u}+b\,v\right)=b,
pois \dfrac{a}{u} é independente de v e a derivada de b\,v em relação a v é b.
\frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right) =\frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{c}{v}+f(u)\right)=f'(u),
pois \dfrac{c}{v} é independente de u e a derivada de f(u) em relação a u é f'(u).
Igualando as duas expressões por integrabilidade:
f'(u)=b.

Passo 5

Integrando f'(u)=b em relação a u temos
f(u)=b\,u + C,
onde C é uma constante de integração. Usando a condição fornecida f(0)=0 obtemos
0=f(0)=b\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
f(u)=b\,u.

Passo 6

Agora obtemos a equação fundamental s(u,v) integrando as derivadas parciais. Comece integrando \left(\dfrac{\partial s}{\partial u}\right)_{v}=\dfrac{a}{u}+b v em relação a u (tratando v como constante):
s(u,v)=\int\!\left(\frac{a}{u}+b v\right)\mathrm{d}u = a\ln u + b\,u v + g(v),
onde g(v) é uma função arbitrária de v (constante de integração relativa à integração em u). Para determinar g(v), derivamos essa expressão em relação a v e igualamos a \left(\dfrac{\partial s}{\partial v}\right)_{u} conhecida:
\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{u}=b u + g'(v)
deve ser igual a
\frac{p}{T}=\frac{c}{v}+f(u)=\frac{c}{v}+b u.
Comparando termos obtemos g'(v)=\dfrac{c}{v}. Integrando em v:
g(v)=c\ln v + \text{constante}.
Substituindo em s(u,v) temos a equação fundamental (até uma constante aditiva arbitrária):
s(u,v)=a\ln u + b\,u v + c\ln v + \text{constante}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): calculando as derivadas parciais de s(u,v) obtidas:
\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right)_{v}=\frac{a}{u}+b v,\qquad \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{u}=b u + \frac{c}{v},
que coincidem com as expressões originais (com f(u)=b u), logo está consistente.

Resposta

f(u)=b\,u
s(u,v)=a\ln u + c\ln v + b\,u v + \text{constante}

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