Considere um gás ideal em equilíbrio em certa temperatura.
Calcule a velocidade média e a velocidade quadrática média das moléculas do gás ideal empregando a distribuição de velocidades moleculares.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade média e a velocidade quadrática média (root-mean-square) das moléculas de um gás ideal em equilíbrio térmico, usando a distribuição de velocidades moleculares.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • O gás está em equilíbrio térmico a temperatura T.
  • A massa de uma molécula é m.
  • Usaremos a constante de Boltzmann k_B.
    Não há outros dados numéricos; o resultado será em função de m e T.

Passo 2

Qual distribuição usar e por quê: a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann para o módulo da velocidade v (em três dimensões) é
f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^{2} e^{-\,\frac{m v^{2}}{2k_B T}},
com v\ge 0.
Explicação curta e intuitiva (sem pular etapas): a distribuição de velocidade vetorial é gaussiana independente em cada componente; ao passar para o módulo v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} usamos coordenadas esféricas no espaço das velocidades e aparece o fator v^2 (o fator jacobiano). O fator numérico em frente garante que \int_{0}^{\infty} f(v)\,dv=1. As variáveis são: m = massa da partícula, T = temperatura, k_B = constante de Boltzmann.

Passo 3

Como calcular médias a partir de f(v): o momento de ordem n da velocidade é
\langle v^{n}\rangle=\int_{0}^{\infty} v^{n} f(v)\,dv.
Em particular a velocidade média é \langle v\rangle (com n=1) e a velocidade quadrática média é \langle v^{2}\rangle; a velocidade quadrática média (rms) é v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}.

Passo 4

Ferramenta de cálculo de integrais úteis: integrais do tipo \int_{0}^{\infty} v^{n} e^{-a v^{2}}\,dv aparecem com frequência. Uma fórmula prática é
\int_{0}^{\infty} v^{n} e^{-a v^{2}}\,dv=\frac{1}{2} a^{-(n+1)/2}\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right),
onde \Gamma é a função gama. Para meios inteiros usamos valores conhecidos:
\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3\sqrt{\pi}}{4}.
Também é útil notar a constante a que aparece no exponencial: aqui a=\dfrac{m}{2k_B T}.

Passo 5

Cálculo da velocidade média \langle v\rangle. Montamos a integral:
\langle v\rangle=\int_{0}^{\infty} v\,f(v)\,dv =4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-a v^{2}}\,dv,
com a=\dfrac{m}{2k_B T}. Usando a fórmula do Passo 4 com n=3 temos
\int_{0}^{\infty} v^{3} e^{-a v^{2}}\,dv=\frac{1}{2}a^{-2}\Gamma(2)=\frac{1}{2}a^{-2}\cdot 1=\frac{1}{2}a^{-2}.
Substituindo na expressão de \langle v\rangle:
\langle v\rangle =4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\cdot\frac{1}{2}a^{-2}.
Agora substituímos a^{-2}=\left(\dfrac{2k_B T}{m}\right)^{2} e simplificamos passo a passo (faça esse tipo de simplificação com calma na prova):
\langle v\rangle =4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{2k_B T}{m}\right)^{2}.
Agrupando potências de m e de k_B T e simplificando constantes obtemos (detalhe das potências e constantes mostrado nas contas):
\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}}.
Essa é a expressão clássica para a velocidade média do gás ideal.

Passo 6

Cálculo de \langle v^{2}\rangle e do v_{\mathrm{rms}}. Montamos a integral:
\langle v^{2}\rangle=\int_{0}^{\infty} v^{2} f(v)\,dv =4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\int_{0}^{\infty} v^{4} e^{-a v^{2}}\,dv.
Usando a fórmula do Passo 4 com n=4:
\int_{0}^{\infty} v^{4} e^{-a v^{2}}\,dv=\frac{1}{2}a^{-5/2}\Gamma\!\left(\tfrac{5}{2}\right) =\frac{1}{2}a^{-5/2}\cdot\frac{3\sqrt{\pi}}{4}=\frac{3\sqrt{\pi}}{8}a^{-5/2}.
Substituindo:
\langle v^{2}\rangle =4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\cdot\frac{3\sqrt{\pi}}{8}a^{-5/2}.
Com a^{-5/2}=\left(\dfrac{2k_B T}{m}\right)^{5/2} e simplificando cuidadosamente as potências e constantes obtemos (faça a álgebra passo a passo na prova):
\langle v^{2}\rangle=\frac{3k_B T}{m}.
Portanto a velocidade quadrática média (rms) é
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.

Passo 7

Checagem física e dica para a prova: essa última expressão satisfaz a relação com energia cinética média por partícula:
\frac{1}{2}m\langle v^{2}\rangle=\frac{3}{2}k_B T,
o que é um cheque rápido que eu sempre faço em prova para ter confiança no resultado. Se você lembrar dessa relação, chega facilmente em \langle v^{2}\rangle e em v_{\mathrm{rms}}. Força — já já essa matéria vai ficar mais confortável!

Resposta

\langle v\rangle=\sqrt{\dfrac{8k_B T}{\pi m}}
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}

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