Considere um gás ideal em equilíbrio em certa temperatura.
Calcule a velocidade média e a velocidade quadrática média das moléculas do gás ideal empregando a distribuição de velocidades moleculares.
Calcule a velocidade média e a velocidade quadrática média das moléculas do gás ideal empregando a distribuição de velocidades moleculares.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a velocidade média e a velocidade quadrática média (root-mean-square) das moléculas de um gás ideal em equilíbrio térmico, usando a distribuição de velocidades moleculares.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- O gás está em equilíbrio térmico a temperatura
. - A massa de uma molécula é
. - Usaremos a constante de Boltzmann
.
Não há outros dados numéricos; o resultado será em função dee .
Passo 2
Qual distribuição usar e por quê: a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann para o módulo da velocidade
(em três dimensões) é
com
.
Explicação curta e intuitiva (sem pular etapas): a distribuição de velocidade vetorial é gaussiana independente em cada componente; ao passar para o módulo usamos coordenadas esféricas no espaço das velocidades e aparece o fator
(o fator jacobiano). O fator numérico em frente garante que
. As variáveis são:
= massa da partícula,
= temperatura,
= constante de Boltzmann.
Explicação curta e intuitiva (sem pular etapas): a distribuição de velocidade vetorial é gaussiana independente em cada componente; ao passar para o módulo
Passo 3
Como calcular médias a partir de
: o momento de ordem
da velocidade é
Em particular a velocidade média é
(com
) e a velocidade quadrática média é
; a velocidade quadrática média (rms) é
.
Passo 4
Ferramenta de cálculo de integrais úteis: integrais do tipo
aparecem com frequência. Uma fórmula prática é
onde
é a função gama. Para meios inteiros usamos valores conhecidos:
Também é útil notar a constante
que aparece no exponencial: aqui
.
Passo 5
Cálculo da velocidade média
. Montamos a integral:
com
. Usando a fórmula do Passo 4 com
temos
Substituindo na expressão de
:
Agora substituímos
e simplificamos passo a passo (faça esse tipo de simplificação com calma na prova):
Agrupando potências de
e de
e simplificando constantes obtemos (detalhe das potências e constantes mostrado nas contas):
Essa é a expressão clássica para a velocidade média do gás ideal.
Passo 6
Cálculo de
e do
. Montamos a integral:
Usando a fórmula do Passo 4 com
:
Substituindo:
Com
e simplificando cuidadosamente as potências e constantes obtemos (faça a álgebra passo a passo na prova):
Portanto a velocidade quadrática média (rms) é
Passo 7
Checagem física e dica para a prova: essa última expressão satisfaz a relação com energia cinética média por partícula:
o que é um cheque rápido que eu sempre faço em prova para ter confiança no resultado. Se você lembrar dessa relação, chega facilmente em
e em
. Força — já já essa matéria vai ficar mais confortável!