Considere um gás ideal de N elétrons, contido em um volume V no zero absoluto. Calcule a pressão exercida pelos elétrons de condução no cobre metálico sobre a rede que os confina no interior do metal, expressando o resultado em atmosferas. Dados: constante de Planck \mathrm{h}=6,63 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} . \mathrm{s}; massa de repouso do elétron \mathrm{m}=9,11.10^{-31} \mathrm{~kg}; massa molar do cobre 64 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; densidade do cobre 9,00.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; número de Avogadro 6,02.10^{23} ; 1 \mathrm{~atm}=1,01.10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e considere que no cobre há um elétron de condução por átomo.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a pressão exercida pelos elétrons de condução no cobre à temperatura do zero absoluto e expressar o resultado em atmosferas.
Dados relevantes fornecidos:
h=6,63\cdot10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad m=9,11\cdot10^{-31}\\ \mathrm{kg},
\text{massa molar do cobre }M=64\\ \mathrm{g/mol}=0,064\\ \mathrm{kg/mol}, \qquad \rho=9,00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},
N_A=6,02\cdot10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}, \qquad 1\\ \mathrm{atm}=1,01\cdot10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Observação do enunciado: considerar que há um elétron de condução por átomo de cobre.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n (número de elétrons de condução por volume). Como há um elétron por átomo, o número de elétrons por metro cúbico é o número de átomos por metro cúbico:
n=\frac{\rho}{M}\,N_A.
Agora substituímos os valores (tudo em notação científica):
n=\frac{9,00\cdot10^{3}}{0,064}\cdot6,02\cdot10^{23}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{9,00\cdot10^{3}}{0,064}=1,40625\cdot10^{5},
n=1,40625\cdot10^{5}\cdot6,02\cdot10^{23}=8,47\cdot10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

A pressão dos elétrons degenerados a T=0 pode ser obtida por propriedades do gás de Fermi não-relativístico. Usamos duas relações padrão (vou explicar o que são):
  • A energia de Fermi (energia máxima ocupada por elétrons a T=0) é
\varepsilon_F=\frac{p_F^{2}}{2m},
onde p_F é o momento de Fermi dado por
p_F=\hbar\,(3\pi^{2}n)^{1/3},
e \hbar=\dfrac{h}{2\pi} é a constante de Planck reduzida. Essa fórmula para p_F vem da contagem de estados quânticos no espaço de momentos para elétrons (cada estado ocupa volume h^{3} no espaço de fases e há fator 2 de spin).
  • A densidade de energia (energia por volume) do gás de Fermi não-relativístico a T=0 é
\frac{U}{V}=\frac{3}{5}\,n\,\varepsilon_F.
  • Para partículas com energia cinética \propto p^{2} em 3D vale a relação termodinâmica
P=\frac{2}{3}\,\frac{U}{V}.
Combinando as duas últimas fórmulas obtemos
P=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\,n\,\varepsilon_F=\frac{2}{5}\,n\,\varepsilon_F.

Passo 4

Substituímos \varepsilon_F em termos de n. Primeiro escrevemos \varepsilon_F usando p_F:
\varepsilon_F=\frac{\hbar^{2}}{2m}\,(3\pi^{2}n)^{2/3}.
Então
P=\frac{2}{5}\,n\cdot\frac{\hbar^{2}}{2m}\,(3\pi^{2}n)^{2/3}.
Cancelando o 2 no numerador e denominador:
P=\frac{\hbar^{2}}{5m}\,(3\pi^{2})^{2/3}\,n^{5/3}.
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular numericamen­te a pressão degenerada dos elétrons.

Passo 5

Agora calculamos numericamente cada peça. Primeiro calculamos \hbar:
\hbar=\frac{h}{2\pi}=\frac{6,63\cdot10^{-34}}{2\pi}\approx1,055\cdot10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Em seguida:
\hbar^{2}\approx(1,055\cdot10^{-34})^{2}=1,113\cdot10^{-68}\\ \mathrm{J^{2}\,s^{2}}.
Calculamos o fator \dfrac{\hbar^{2}}{5m}:
\frac{\hbar^{2}}{5m}=\frac{1,113\cdot10^{-68}}{5\cdot9,11\cdot10^{-31}} =\frac{1,113\cdot10^{-68}}{4,555\cdot10^{-30}} \approx2,44\cdot10^{-39}\\ \mathrm{(SI)}.
Calculemos (3\pi^{2})^{2/3}:
3\pi^{2}\approx29,61,\qquad(3\pi^{2})^{2/3}\approx9,54.
Já temos n do Passo 2:
n=8,47\cdot10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Calculamos n^{5/3}. Uma forma prática é fazer n^{5/3}=n\cdot n^{2/3}. Usando logaritmos ou aproximações:
n^{2/3}\approx1,93\cdot10^{19},\qquad n^{5/3}=n\cdot n^{2/3}\approx8,47\cdot10^{28}\cdot1,93\cdot10^{19}\approx1,63\cdot10^{48}.
Agora montamos P:
P=\frac{\hbar^{2}}{5m}\,(3\pi^{2})^{2/3}\,n^{5/3} \approx(2,44\cdot10^{-39})\cdot(9,54)\cdot(1,63\cdot10^{48}).
Multiplicando passo a passo:
2,44\cdot1,63\approx3,98,\quad 3,98\cdot9,54\approx38,0,
e o expoente resulta em 10^{-39+48}=10^{9}. Logo
P\approx3,80\cdot10^{10}\\ \mathrm{Pa}.
Finalmente convertemos para atmosferas dividindo por 1,01\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}:
P_{\text{(atm)}}=\frac{3,80\cdot10^{10}}{1,01\cdot10^{5}}\approx3,77\cdot10^{5}\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de forma conveniente (dados iniciais têm poucas cifras significativas), podemos escrever
P\approx3,8\cdot10^{5}\\ \mathrm{atm}.

Resposta

\;3,8\cdot10^{5}\\ \mathrm{atm}

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