Considere um gás ideal de N elétrons, contido em um volume V no zero absoluto. Calcule a pressão exercida pelos elétrons de condução no cobre metálico sobre a rede que os confina no interior do metal, expressando o resultado em atmosferas. Dados: constante de Planck
; massa de repouso do elétron
; massa molar do cobre
; densidade do cobre
; número de Avogadro
e considere que no cobre há um elétron de condução por átomo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a pressão exercida pelos elétrons de condução no cobre à temperatura do zero absoluto e expressar o resultado em atmosferas.
Dados relevantes fornecidos:
Observação do enunciado: considerar que há um elétron de condução por átomo de cobre.
Passo 2
Calcular a densidade numérica
(número de elétrons de condução por volume). Como há um elétron por átomo, o número de elétrons por metro cúbico é o número de átomos por metro cúbico:
Agora substituímos os valores (tudo em notação científica):
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 3
A pressão dos elétrons degenerados a
pode ser obtida por propriedades do gás de Fermi não-relativístico. Usamos duas relações padrão (vou explicar o que são):
- A energia de Fermi (energia máxima ocupada por elétrons a
) é
onde
é o momento de Fermi dado por
e
é a constante de Planck reduzida. Essa fórmula para
vem da contagem de estados quânticos no espaço de momentos para elétrons (cada estado ocupa volume
no espaço de fases e há fator 2 de spin).
- A densidade de energia (energia por volume) do gás de Fermi não-relativístico a
é
- Para partículas com energia cinética
em 3D vale a relação termodinâmica
Combinando as duas últimas fórmulas obtemos
Passo 4
Substituímos
em termos de
. Primeiro escrevemos
usando
:
Então
Cancelando o
no numerador e denominador:
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular numericamente a pressão degenerada dos elétrons.
Passo 5
Agora calculamos numericamente cada peça. Primeiro calculamos
:
Em seguida:
Calculamos o fator
:
Calculemos
:
Já temos
do Passo 2:
Calculamos
. Uma forma prática é fazer
. Usando logaritmos ou aproximações:
Agora montamos
:
Multiplicando passo a passo:
e o expoente resulta em
. Logo
Finalmente convertemos para atmosferas dividindo por
:
Arredondando de forma conveniente (dados iniciais têm poucas cifras significativas), podemos escrever