Dois ciclos reversíveis são colocados em série. O primeiro ciclo recebe energia por transferência de calor de um a reservatório quente a 282,4{ }^{\circ} \mathrm{C} e rejeita energia por transferência de calor para um reservatório a uma temperatura T inferior a 282,4{ }^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} segundo ciclo recebe energia por transferência de calor à temperatura T e rejeita energia por transferência de calor para um reservatório a 4,6^{\circ} \mathrm{C} (menor que T). A eficiência do térmica do primeiro ciclo é de 50 \% maior do que a do segundo ciclo. Nestas condições, determine:
a) A temperatura intermediária T , em { }^{\circ} \mathrm{C}, e as eficiências térmicas dos dois ciclos de potência; Resp. \boldsymbol{T}=\mathbf{8 8}, \mathbf{7 3 3 3}{ }^{\circ} \boldsymbol{C} ; \boldsymbol{\eta}_{\mathbf{1}}=\mathbf{3 4}, \mathbf{9} \% \boldsymbol{e} \boldsymbol{\eta}_{\mathbf{2}}=\mathbf{2 3}, \mathbf{2} \%
b) A eficiência térmica de um único ciclo de potência reversível operando entre os reservatórios quente e frio a 282,4^{\circ} \mathrm{C} e 4,6^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Resp. \boldsymbol{\eta}=\mathbf{5 0} \%

Passo 1

O enunciado descreve dois ciclos de Carnot em série. O primeiro opera entre um reservatório quente a 282,4\,^\circ\mathrm{C} e um intermediário a T (em ^\circC), e o segundo entre T e o frio a 4,6\,^\circ\mathrm{C}. Sabemos que, para um ciclo de Carnot, a eficiência térmica é
\eta \;=\;1-\frac{T_{\rm frio}}{T_{\rm quente}}
com todas as temperaturas em kelvin. Além disso, é dado que
\eta_1 \;=\;1{,}5\,\eta_2.
Nosso objetivo é:
a) determinar T (em ^\circC), \eta_1 e \eta_2;
b) calcular a eficiência de um único ciclo reversível entre 282,4\,^\circ\mathrm{C} e 4,6\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos converter as temperaturas limites para kelvin:
T_H = 282,4 + 273,15 = 555{,}55\\ \mathrm{K}, \qquad T_C = 4,6 + 273,15 = 277{,}75\\ \mathrm{K},
e definimos
\displaystyle T_i = T + 273{,}15 como a temperatura intermediária em kelvin.

Passo 3

Escrevemos as eficiências dos ciclos:
\eta_1 = 1 - \frac{T_i}{T_H}, \qquad \eta_2 = 1 - \frac{T_C}{T_i}.
A condição \eta_1 = 1{,}5\,\eta_2
1 - \frac{T_i}{T_H} \;=\; 1{,}5\;\Bigl(1 - \frac{T_C}{T_i}\Bigr).
Multiplicando ambos os lados por T_H\,T_i e rearranjando, obtemos a equação quadrática em T_i:
T_i^2 \;+\;\frac12\,T_H\,T_i\;-\;1{,}5\,T_H\,T_C \;=\;0.

Passo 4

Substituindo T_H=555{,}55 K e T_C=277{,}75 K, a eq. fica
T_i^2 + 0{,}5\,(555{,}55)\,T_i - 1{,}5\,(555{,}55)(277{,}75)=0.
Numericamente,
T_i^2 +277{,}775\,T_i -231456{,}02 =0.
A solução positiva é
T_i = \frac{-277{,}775 + \sqrt{277{,}775^2 +4\cdot231456{,}02}}{2} \approx 363{,}0\\ \mathrm{K}.
Assim,
T = T_i -273{,}15 \approx 89{,}9\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Com T_i\approx363{,}0 K, as eficiências são
\eta_1 = 1 - \frac{363{,}0}{555{,}55}\approx 0{,}3466 \quad(34{,}66\%),
\eta_2 = 1 - \frac{277{,}75}{363{,}0}\approx 0{,}2369 \quad(23{,}69\%),
verificando \eta_1/\eta_2\approx1{,}5.

Passo 6

Para um único ciclo reversível entre os reservatórios quente e frio,
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{277{,}75}{555{,}55} \approx 0{,}50\quad(50\%).

Resposta

a) T\approx89{,}9\,^\circ\mathrm{C}, \eta_1\approx34{,}7\%, \eta_2\approx23{,}7\%.
b) \eta=50\%.

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