Considere, em um modelo simplificado, que a temperatura média efetiva da superfície terrestre aumenta de 288 K para 289 K devido ao efeito estufa reforçado. A Terra pode ser aproximada como um corpo negro que emite potência total P=1,7 \times 10^{17} \mathrm{~W} (ordem de grandeza da energia recebida do Sol e reemitida). ( 2,5 \mathrm{pts} )
a) Supondo que a potência emitida seja aproximadamente constante durante um intervalo de 1 ano ( \approx 3,15 \times 10^{7} s), calcule a energia total emitida nesse período.
b) Estime a variação de entropia associada à emissão de radiação nesse período, aproximando o planeta como um reservatório à temperatura T .
c) Compare os dois valores e discuta qualitativamente como um aumento pequeno de temperatura média afeta a taxa de “produção” de entropia, relacionando com a discussão de irreversibilidade global e mudanças climáticas.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Potência emitida (potência total reemitida pela Terra): P = 1,7\times 10^{17}\\ \mathrm{W}.
    • Intervalo de tempo (1 ano aproximado): t = 3,15\times 10^{7}\\ \mathrm{s}.
    • Temperatura média efetiva inicial: T_1 = 288\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura média efetiva aumentada: T_2 = 289\\ \mathrm{K}.
  • O enunciado pede:
    a) Calcular a energia total emitida durante 1 ano.
    b) Estimar a variação de entropia associada à emissão de radiação nesse período, aproximando o planeta como um reservatório à temperatura T. (Como há duas temperaturas citadas, vou avaliar para T_1 e T_2 e também a diferença.)
    c) Comparar os valores e discutir qualitativamente como um pequeno aumento de temperatura média afeta a taxa de produção de entropia, relacionando com irreversibilidade global e mudanças climáticas.

Passo 2

Parte (a): calcular a energia total emitida em 1 ano.
  • Conceito usado: potência é energia por unidade de tempo. Se a potência é aproximadamente constante, a energia total emitida em um intervalo t é
E = P\,t,
onde E é a energia em joules ( \mathrm{J}), P é a potência em watts ( \mathrm{W}=\mathrm{J/s}) e t é o tempo em segundos ( \mathrm{s}).
  • Aplicando os números fornecidos:
E = \left(1,7\times10^{17}\right)\left(3,15\times10^{7}\right)\\ \mathrm{J}.
  • Fazer a multiplicação passo a passo:
1{,}7\times3{,}15 = 5{,}355,
e os expoentes somam 10^{17}\times10^{7}=10^{24}. Logo
E = 5{,}355\times10^{24}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando convenientemente (duas casas significativas por coerência com P):
E \approx 5{,}36\times10^{24}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Parte (b): estimar a variação de entropia associada à emissão de radiação, aproximando o planeta como reservatório à temperatura T.
  • Conceito chave (aula rápida): para um reservatório térmico ideal que perde uma quantidade de energia (calor) Q de forma aproximadamente reversível, a variação de entropia do reservatório é
\Delta S_\text{reservatório} = -\frac{Q}{T},ó
onde T é a temperatura do reservatório (em kelvin) e Q é a energia perdida (em joules). O sinal negativo indica que o reservatório perde entropia quando perde energia. Aqui estamos aproximando a Terra como esse reservatório que emite energia E no período considerado; portanto usamos Q=E.
  • Observação pedagógica: essa expressão vem da definição termodinâmica de entropia dS = \delta Q_\text{rev}/T. Ao tratar a emissão como uma troca de energia quase contínua e usando a temperatura média T como referência, podemos estimar \Delta S por -E/T. É uma aproximação útil para ordens de grandeza.
  • Calcular para T_1=288\\ \mathrm{K}:
\Delta S_1 = -\frac{E}{T_1} = -\frac{5{,}355\times10^{24}}{288}\\ \mathrm{J/K}.
Fazendo a divisão:
\Delta S_1 \approx -1{,}859375\times10^{22}\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando:
\Delta S_1 \approx -1{,}86\times10^{22}\\ \mathrm{J/K}.
  • Calcular para T_2=289\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = -\frac{E}{T_2} = -\frac{5{,}355\times10^{24}}{289}\\ \mathrm{J/K} \approx -1{,}853087\times10^{22}\\ \mathrm{J/K},
ou, arredondando,
\Delta S_2 \approx -1{,}85\times10^{22}\\ \mathrm{J/K}.
  • Diferença entre as duas variações de entropia (o quanto a variação de entropia anual muda quando a temperatura sobe de 288 para 289\\ \mathrm{K}):
\Delta(\Delta S) = \Delta S_2 - \Delta S_1 \approx (-1{,}85309+\;1{,}85938)\times10^{22}\\ \mathrm{J/K} \approx 6{,}29\times10^{19}\\ \mathrm{J/K}.
(Positive porque a perda de entropia do planeta fica ligeiramente menor em módulo quando T aumenta.)

Passo 4

Taxas e variação percentual — interpretação numérica mais direta.
  • A taxa de produção/fluxo de entropia associada à emissão é
\dot S = \frac{P}{T}\quad\left(\mathrm{J/K/s}\right).
Calcular \dot S para as duas temperaturas:
\dot S_1 = \frac{1{,}7\times10^{17}}{288}\\ \mathrm{J/K/s}\approx 5{,}90278\times10^{14}\\ \mathrm{J/K/s},
\dot S_2 = \frac{1{,}7\times10^{17}}{289}\\ \mathrm{J/K/s}\approx 5{,}88408\times10^{14}\\ \mathrm{J/K/s}.
  • A variação absoluta anual que encontramos antes corresponde a (\dot S_2-\dot S_1)\times t \approx 6{,}29\times10^{19}\\ \mathrm{J/K}.
  • Variação relativa (percentual) na taxa de produção de entropia ao subir de 288 para 289\\ \mathrm{K}:
\frac{\dot S_2-\dot S_1}{\dot S_1}\approx \frac{6{,}29\times10^{19}}{1{,}859375\times10^{22}}\approx 3{,}38\times10^{-3}\approx 0{,}34\%.
Ou seja, um aumento de 1\\ \mathrm{K} (≈ 0{,}35\% em temperatura absoluta) reduz a taxa \dot S em cerca de 0{,}34\% — consistente com a aproximação linear \Delta(\dot S)/\dot S \approx -\Delta T/T.

Passo 5

Parte (c): interpretação qualitativa e discussão (o que isso significa fisicamente e para mudanças climáticas).
  • Resultado direto e simples: a emissão de uma mesma energia E a uma temperatura maior transporta menos entropia do que se fosse emitida a uma temperatura menor, porque \Delta S = -E/T. Assim, quando a temperatura média da superfície aumenta de 288 para 289\\ \mathrm{K}, a taxa de entropia associada à emissão radiativa \dot S = P/T diminui ligeiramente — aqui cerca de 0{,}34\%.
  • Interpretação física curta: cada joule de energia que sai carregará menos “entropia” quando a superfície está mais quente (entropia por energia é 1/T). Portanto o fluxo radiativo, isoladamente, gera (ou exporta) um pouco menos de entropia por segundo quando a Terra aquece.
  • Por que isso não quer dizer que aquecimento reduz a irreversibilidade global de forma benigna:
    • O balanço total de entropia do planeta não é dado só por P/T da emissão; há também absorção da radiação solar (que entra praticamente como radiação de maior “qualidade” — baixa entropia por energia porque vem efetivamente de uma fonte muito mais quente, o Sol) e inúmeros processos internos não reversíveis (turbulência atmosférica, evaporação e condensação, transporte de calor, fusão de gelo, alterações biológicas e químicas).
    • Mudanças climáticas aumentam gradientes (de temperatura, umidade, etc.) e intensificam processos dissipativos (tempestades mais fortes, maior evaporação, derretimento e reorganização de superfícies), que em geral aumentam a produção líquida de entropia do sistema Terra+atmosfera. Ou seja, mesmo que a entropia associada à radiação emitida por segundo caia levemente, os processos irreversíveis internos e fora de equilíbrio podem crescer e dominar, levando a maior irreversibilidade total.
    • Além disso, a redução de entropia por joule na emissão não é um “benefício” que compense impactos físicos do aquecimento (elevação do nível do mar, extremos climáticos, perda de serviços ecossistêmicos). A termodinâmica dá uma descrição global de fluxos e irreversibilidade, mas os impactos locais e setoriais são determinantes para o risco humano e ecológico.
  • Resumindo (tom incentivador): numericamente a mudança na taxa radiativa de entropia é pequena (fração de um por cento para +1 K), mas o sistema climático responde de maneiras não lineares; portanto pequenas mudanças na temperatura média podem causar grandes alterações nos processos irreversíveis que realmente importam para impactos climáticos.

Resposta

(a) E \approx 5{,}36\times10^{24}\\ \mathrm{J}.
(b) \Delta S_{288}\approx -1{,}86\times10^{22}\\ \mathrm{J/K},\quad \Delta S_{289}\approx -1{,}85\times10^{22}\\ \mathrm{J/K}; diferença \Delta(\Delta S)\approx 6{,}29\times10^{19}\\ \mathrm{J/K}.
(c) A taxa radiativa de produção de entropia \dot S=P/T diminui quando T aumenta (aqui cerca de 0{,}34\% para +1\\ \mathrm{K}), mas isso não implica menor irreversibilidade climática global: processos dissipativos internos e não-lineares (ciclo hidrológico, turbulência, perda de gelo, etc.) tendem a aumentar a irreversibilidade total e os impactos associados às mudanças climáticas.

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