Em um lago raso, 2000 kg de água de um efluente tratado a 40^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 8000 kg de água do lago a 20^{\circ} \mathrm{C}. Considere sistema isolado (sem troca de calor com o ar) e c=4,18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \cdot(2,5 \mathrm{pts})
a) Calcule a temperatura final de equilíbrio da mistura.
b) Calcule a variação de entropia da porção quente (efluente) e da porção fria (água do lago).
c) Determine a variação de entropia total e discuta o que significa, em termos de irreversibilidade da mistura e possíveis impactos em processos ecológicos sensíveis à temperatura.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • massa do efluente (porção quente): m_h = 2000\\ \mathrm{kg}.
    • temperatura inicial do efluente: T_h^{\text{ini}} = 40^{\circ}\mathrm{C}.
    • massa da água do lago (porção fria): m_c = 8000\\ \mathrm{kg}.
    • temperatura inicial da água do lago: T_c^{\text{ini}} = 20^{\circ}\mathrm{C}.
    • capacidade térmica específica (água): c = 4{,}18\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
    • sistema isolado (sem troca de calor com o ar): toda a troca de calor é entre as duas porções.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a temperatura final de equilíbrio da mistura.
    (b) Calcular a variação de entropia da porção quente (efluente) e da porção fria (água do lago).
    (c) Determinar a variação de entropia total e discutir o significado (irreversibilidade) e possíveis impactos ecológicos sensíveis à temperatura.
Observação importante para as contas:
  • Para conservação de energia (parte (a)) pode-se trabalhar com temperaturas em ^\circ\mathrm{C} porque as diferenças de temperatura em ^\circ\mathrm{C} e em \mathrm{K} são iguais.
  • Para entropia (parte (b) e (c)) é obrigatório usar temperaturas em Kelvin ( \mathrm{K}) dentro do logaritmo \ln, porque \Delta S = \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} exige escala absoluta.

Passo 2

Calcular a temperatura final T_f usando conservação de energia (primeira lei, sem trabalho, só calor trocado entre as porções):
  • A energia perdida pela água quente deve ser igual à energia ganha pela água fria:
m_h c (T_f - T_h^{\text{ini}}) + m_c c (T_f - T_c^{\text{ini}}) = 0.
Aqui:
  • m_h e m_c são as massas das porções quente e fria;
  • c é a capacidade térmica específica (assumida constante);
  • T_f é a temperatura final de equilíbrio;
  • T_h^{\text{ini}} e T_c^{\text{ini}} são as temperaturas iniciais.
Como c é comum pode-se simplificar:
m_h (T_f - T_h^{\text{ini}}) + m_c (T_f - T_c^{\text{ini}}) = 0.
Agrupando T_f:
T_f (m_h + m_c) = m_h T_h^{\text{ini}} + m_c T_c^{\text{ini}}.
Logo a fórmula prática:
T_f = \frac{m_h T_h^{\text{ini}} + m_c T_c^{\text{ini}}}{m_h + m_c}.
Substituindo os números (posso usar ^\circ\mathrm{C} aqui):
T_f = \frac{2000\cdot 40 + 8000\cdot 20}{2000+8000} \\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule:
2000\cdot 40 = 80\,000,\qquad 8000\cdot 20 = 160\,000,
T_f = \frac{80\,000 + 160\,000}{10\,000} \\ ^\circ\mathrm{C} = \frac{240\,000}{10\,000}\\ ^\circ\mathrm{C} = 24^{\circ}\mathrm{C}.
Também em Kelvin (para usar nas contas de entropia):
T_f = 24^{\circ}\mathrm{C} = 297{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Fórmula para variação de entropia de uma porção com calor específico constante:
  • A definição termodinâmica da variação de entropia para um processo reversível é \mathrm{d}S = \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento/resfriamento com capacidade térmica constante c: \delta Q_{\text{rev}} = m c\,\mathrm{d}T.
  • Integrando entre a temperatura inicial T_i e final T_f (temperaturas em Kelvin),
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\,\mathrm{d}T}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Explicando as variáveis:
  • \Delta S é a variação de entropia (unidade: \mathrm{kJ}/\mathrm{K} se c estiver em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}));
  • m é a massa da porção considerada;
  • c é capacidade térmica específica (mesma unidade usada nas contas);
  • T_i e T_f são temperaturas inicial e final em Kelvin;
  • \ln é o logaritmo natural.
Observação didática rápida: a razão dentro do \ln exige Kelvin porque só a escala absoluta faz sentido dentro de um logaritmo de temperatura (log de uma diferença Celsius não é correto).

Passo 4

Calcular \Delta S da porção quente (efluente).
  • Converter temperaturas para Kelvin (peguei os valores em °C do enunciado e do passo 2):
T_h^{\text{ini}} = 40^{\circ}\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_f = 24^{\circ}\mathrm{C} = 297{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicar a fórmula
\Delta S_h = m_h c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_h^{\text{ini}}}\right).
Substituindo números:
\Delta S_h = 2000\cdot 4{,}18\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})\;\ln\!\left(\frac{297{,}15}{313{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo (mostro o passo aproximado):
\frac{297{,}15}{313{,}15}\approx 0{,}9489,\qquad \ln(0{,}9489)\approx -0{,}05247.
Agora o produto:
m_h c = 2000\cdot 4{,}18 = 8360\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K},
\Delta S_h \approx 8360\cdot(-0{,}05247)\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K} \approx -438{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.
Interpretação rápida: a porção quente perde calor e sua entropia diminui (sinal negativo).

Passo 5

Calcular \Delta S da porção fria (água do lago).
  • Converter temperatura inicial da parte fria:
T_c^{\text{ini}} = 20^{\circ}\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usar a mesma fórmula:
\Delta S_c = m_c c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_c^{\text{ini}}}\right).
Substituindo:
\Delta S_c = 8000\cdot 4{,}18\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})\;\ln\!\left(\frac{297{,}15}{293{,}15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{297{,}15}{293{,}15}\approx 1{,}01364,\qquad \ln(1{,}01364)\approx 0{,}01355.
Calcule o produto:
m_c c = 8000\cdot 4{,}18 = 33\,440\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K},
\Delta S_c \approx 33\,440\cdot 0{,}01355\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K} \approx 453{,}2\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.
Interpretação rápida: a porção fria ganha calor e sua entropia aumenta (sinal positivo).

Passo 6

Calcular a variação total de entropia do sistema isolado e discutir o resultado.
  • A variação total é a soma:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_h + \Delta S_c \approx -438{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K} + 453{,}2\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K} \approx 14{,}5\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.
Interpretação física e ecológica (didática e útil para a prova):
  • Como \Delta S_{\text{total}}>0, o processo é irreversível — isto é exatamente a previsão da Segunda Lei para um isolado: a entropia não diminui; ela cresce em processos espontâneos irreversíveis (a igualdade seria só para processos reversíveis idealizados).
  • A entropia total positiva quantifica a irreversibilidade térmica da mistura: calor fluiu do quente para o frio e parte desse fluxo dissipou energia como aumento de desordem (entropia).
  • Em termos ecológicos: a temperatura do lago subiu de 20^{\circ}\mathrm{C} para 24^{\circ}\mathrm{C} localmente. Um aumento de 4^{\circ}\mathrm{C} pode ser ambientalmente significativo para ecossistemas sensíveis — por exemplo, redução da solubilidade de oxigênio, estresse térmico para espécies com tolerância térmica estreita, possíveis mudanças no metabolismo, reprodução e composição de espécies. Portanto, mesmo sendo pequena a entropia total numérica relative à energia, a mudança de temperatura pode ter impactos locais importantes — por isso se controla e trata o efluente térmico antes de despejar.
Dica prática para a prova: sempre (1) use balanço de energia para obter T_f e (2) converta para Kelvin ao aplicar \Delta S = m c \ln(T_f/T_i). Se c for função de T teria que integrar, mas para água em intervalos pequenos a hipótese de c constante é apropriada.

Resposta

(a) T_f = 24^{\circ}\mathrm{C} = 297{,}15\\ \mathrm{K}.
(b) \Delta S_{\text{efluente}} \approx -438{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K},\qquad \Delta S_{\text{lago}} \approx +453{,}2\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.
(c) \Delta S_{\text{total}} \approx +14{,}5\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{K}.

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