Considere o modelo de um sistema, em que a energia é dada por:
\varepsilon_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon_{o} ; n=0,1,2, \ldots, 9
E que o sistema possui 10 partículas.
Estado I: ( 0,0,1,2,4,2,1,0,0,0 )
Estado II: (0, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 0, 0)
Estado III: (1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1)
Calcule (usando k=1.3806488 \times 10^{-23} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{~K}^{-1} ):
Responda: Qual dos dois estados tem maior probabilidade de ser observado e qual o seu valor:
a) I ou II?
b) II ou III?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de 10 partículas com níveis de energia
\varepsilon_{n}=\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\varepsilon_{0},\quad n=0,1,\dots,9
e três possíveis microestados dados pelas ocupações:
I:,(0,0,1,2,4,2,1,0,0,0),
II:,(0,1,1,2,2,2,1,1,0,0) e
III:,(1,2,1,1,1,1,0,1,1,1).
Em um ensemble canônico, a probabilidade de um microestado de energia E é
P\propto e^{-E/(kT)}.
Vamos calcular E de cada estado e comparar as probabilidades relativas.

Passo 2

Calcular a energia total do estado I:
E_{I} =\sum_{n=0}^{9}N_{n}^{(I)}\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\varepsilon_{0} =0\cdot0{,}5+0\cdot1{,}5+1\cdot2{,}5+2\cdot3{,}5+4\cdot4{,}5 +2\cdot5{,}5+1\cdot6{,}5 \;=\;45\,\varepsilon_{0}.
Para o estado II:
E_{II} =\sum_{n=0}^{9}N_{n}^{(II)}\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\varepsilon_{0} =1{,}5+2{,}5+2\cdot3{,}5+2\cdot4{,}5+2\cdot5{,}5+6{,}5+7{,}5 \;=\;45\,\varepsilon_{0}.

Passo 3

Como E_{I}=E_{II}=45\,\varepsilon_{0}, temos
P_{I}\propto e^{-45\varepsilon_{0}/(kT)} \quad\text{e}\quad P_{II}\propto e^{-45\varepsilon_{0}/(kT)},
portanto P_{I}=P_{II}.

Passo 4

Calcular a energia total do estado III:
E_{III} =\sum_{n=0}^{9}N_{n}^{(III)}\bigl(n+\tfrac12\bigr)\,\varepsilon_{0} =0{,}5+3{,}0+2{,}5+3{,}5+4{,}5+5{,}5+7{,}5+8{,}5+9{,}5 \;=\;45\,\varepsilon_{0}.

Passo 5

Como também E_{II}=E_{III}=45\,\varepsilon_{0}, segue
P_{II}=P_{III}\propto e^{-45\varepsilon_{0}/(kT)}.

Resposta

a) Os estados I e II têm a mesma probabilidade:
P_{I}=P_{II}= \frac{1}{Z}\,e^{-45\,\varepsilon_{0}/(kT)}.
b) Os estados II e III têm a mesma probabilidade:
P_{II}=P_{III}= \frac{1}{Z}\,e^{-45\,\varepsilon_{0}/(kT)}.

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