Considere o processo de compressão/expansão reversível adiabática discutido em aula.
(a) Mostre que partindo de P1 V1T1=P2 V2T2, e T2T1=(V1V2)^gamma-1, chega-se nas seguintes relações entre P-T e P-V (finais e iniciais): T2T1=(P2P1)^gamma-1gamma e P1 V1 ^gamma=P2 V2 ^gamma.
(b) Mostre que a partir da expressão para o trabalho W=n Cv(T2-T1)= n Rgamma-1(T2-T1), pode-se chegar em W=n R T1gamma-1((P2P1)^gamma-1gamma-1), usando as relações do item anterior.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal passando por um processo adiabático reversível entre dois estados (P1,V1,T1) e (P2,V2,T2). Vamos usar
  1. A equação de estado do gás ideal em forma de razão:
P1V1T1 = P2V2T2,
  1. A relação já conhecida para adiabática reversível:
T2T1 = l(V1V2r)^gamma-1,
onde gamma = Cp/Cv. Com isso, queremos chegar em
T2T1 = l(P2P1r)^gamma-1gamma e P1V1^gamma = P2V2^gamma

Passo 2

Começamos manipulando a equação do gás ideal em forma de razão para relacionar P2/P1 com V1/V2 e T2/T1. Da igualdade
P1V1T1 = P2V2T2
segue-se
P2P1 = V1V2;T2T1

Passo 3

Agora substituímos T2T1 = l(tfracV1V2r)^gamma-1 nessa última expressão:
P2P1 = V1V2;l(V1V2r)^gamma-1 = l(V1V2r)^(gamma-1)+1 = l(V1V2r)^gamma
Elevando ambos os lados à potência tfracgamma-1gamma, obtemos
l(P2P1r)^gamma-1gamma = l(V1V2r)^gammacdotgamma-1gamma = l(V1V2r)^gamma-1 = T2T1
Logo,
T2T1 = l(P2P1r)^gamma-1gamma

Passo 4

Ainda da igualdade
P2P1 = l(V1V2r)^gamma,
podemos reescrever como
P2 V2^gamma = P1 V1^gamma,
que é justamente a relação clássica
P1V1^gamma = P2V2^gamma
para o processo adiabático reversível.

Passo 5

Para o item (b), temos a expressão do trabalho em função das temperaturas:
W = n Cvl(T2-T1r) = nRgamma-1l(T2-T1r)
Substituímos T2 = T1l(P2/P1r)^gamma-1gamma:
W = nRgamma-1l[T1l(P2P1r)^gamma-1gamma - T1r] = nR,T1gamma-1l[l(P2P1r)^gamma-1gamma - 1r]

Resposta

(a)
T2T1 = l(P2P1r)^gamma-1gamma, P1V1^gamma = P2V2^gamma
(b)
W = nR,T1gamma-1l[l(P2P1r)^gamma-1gamma - 1r]

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