Considere a seguinte PDF, como uma distribuição exponencial:
f(t)=0.009 e^-0.009 t, t >= 0
Determine e interprete os resultados obtidos:
  • A função de confiabilidade R(t).
  • O Tempo Médio de Falha (MTTF). Resposta: MTTF cong 111.11
  • A mediana, t med do tempo de falha. Resposta: t med cong 7 7 , 0 1
  • A moda t mod do tempo de falha.
  • A variância. Resposta: sigma^2 cong 1 2 3 4 5 6 8
  • O desvio padrão. Resposta: sigma=cong 1 1 1 1 1
    (Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma distribuição exponencial com densidade
f(t)=0.009,e^-0.009,t, t>=0
O conteúdo aqui é confiabilidade e estatística de variáveis contínuas: vamos precisar de
1. A função de confiabilidade (sobrevivência) .
2. O tempo médio até a falha (MTTF), que é a esperança .
3. A mediana , tal que .
4. A moda , isto é, o valor que maximiza .
5. A variância e o desvio padrão .
Para isso vamos usar integrais básicas e propriedades da distribuição exponencial (parâmetro ).

Passo 2

Função de confiabilidade R(t)=P(T>t)=integralt^inftyf(u),du =integralt^infty0.009,e^-0.009,u,du.
Por definição
$$R(t)=P(T>t)=\int_t^{\infty}f(u),du
=\int_t{\infty}0.009,e{-0.009,u},du.$$
Fazendo a integral:
R(t)&=0.009l[-tfrac10.009e^-0.009,ur]u=t^u=infty =0.009l(0 -l(-tfrac10.009e^-0.009,tr)r) &=e^-0.009,t

Passo 3

Tempo Médio de Falha (MTTF) = E[T]=integral0^inftyt,f(t),dt =integral0^inftytcdot0.009,e^-0.009,t,dt.
Por definição de esperança:
$$\mathbb E[T]=\int_0^{\infty}t,f(t),dt
=\int_0{\infty}t\cdot0.009,e{-0.009,t},dt.$$
Usamos integração por partes:
- E[T] =l-t,e^-0.009tr|0^infty+integral0^inftye^-0.009tdt =0 + l[-tfrac10.009e^-0.009tr]0^infty =tfrac10.009approx111.11 ,
- Então , .
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Passo 4

Mediana e^-0.009,trm med=0.5 ;Longrightarrow;-0.009,trm med=ln(0.5) ;Longrightarrow;trm med=ln20.009approx77.01.
É o valor que satisfaz .
Como , basta resolver

Passo 5

Moda trm mod=0.
Para exponencial decrescente, o pico de ocorre em .
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Passo 6

Variância e desvio padrão.
Primeiro E[T^2]=integral0^infty t^2cdot0.009,e^-0.009tdt:
E[T^2]=2lambda^2=2(0.009)^2approx24691.36
Também por partes (ou usando fórmula geral), encontra-se
sigma^2=E[T^2]-(E[T])^2 =2lambda^2-1lambda^2 =1lambda^2 =1(0.009)^2approx12345.68
A variância é
sigma=raizsigma^2=10.009approx111.11
O desvio padrão é

Resposta

R(t)=e^{-0.009t}
MTTF≈111.11
t_{med}≈77.01
t_{mod}=0
Var(T)≈12345.68
σ≈111.11

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