Considere a seguinte PDF, como uma distribuição exponencial:
Determine e interprete os resultados obtidos:
A função de confiabilidade R(t).
O Tempo Médio de Falha (MTTF). Resposta: MTTF
A mediana, do tempo de falha. Resposta:
A moda do tempo de falha.
A variância. Resposta:
O desvio padrão. Resposta:
(Observação: Obrigatório resolver e detalhar as integrais necessárias).
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma distribuição exponencial com densidade
O conteúdo aqui é confiabilidade e estatística de variáveis contínuas: vamos precisar de
1. A função de confiabilidade (sobrevivência) .
2. O tempo médio até a falha (MTTF), que é a esperança .
3. A mediana , tal que .
4. A moda , isto é, o valor que maximiza .
5. A variância e o desvio padrão .
Para isso vamos usar integrais básicas e propriedades da distribuição exponencial (parâmetro ).
Passo 2
Função de confiabilidade .
Por definição
$$R(t)=P(T>t)=\int_t^{\infty}f(u),du
=\int_t{\infty}0.009,e{-0.009,u},du.$$
Fazendo a integral:
Passo 3
Tempo Médio de Falha (MTTF) = .
Por definição de esperança:
$$\mathbb E[T]=\int_0^{\infty}t,f(t),dt
=\int_0{\infty}t\cdot0.009,e{-0.009,t},dt.$$
Usamos integração por partes:
- ,
- Então , .
Logo
Passo 4
Mediana e^-0.009,trm med=0.5 ;Longrightarrow;-0.009,trm med=ln(0.5) ;Longrightarrow;trm med=ln20.009approx77.01.
É o valor que satisfaz .
Como , basta resolver
Passo 5
Moda trm mod=0.
Para exponencial decrescente, o pico de ocorre em .
Logo
Passo 6
Variância e desvio padrão.
Primeiro E[T^2]=integral0^infty t^2cdot0.009,e^-0.009tdt:
E[T^2]=2lambda^2=2(0.009)^2approx24691.36
Também por partes (ou usando fórmula geral), encontra-se sigma^2=E[T^2]-(E[T])^2 =2lambda^2-1lambda^2 =1lambda^2 =1(0.009)^2approx12345.68