Considere o ar sendo submetido a uma transformação entre dois estados termodinâmicos.
O estado inicial é caracterizado por temperatura de 277,6 \mathrm{~K}, pressão de 1,013 \times 10^{6} \mathrm{~Pa} e volume molar de 2,28 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kmol}. O estado final apresenta temperatura de 333,15 \mathrm{~K} e pressão de 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}.
Admita que, para o ar, a razão \frac{P V}{T} permanece constante durante o processo, e que os calores específicos podem ser considerados constantes, com:
C_{v}=20,94 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kmol} \backslash \mathrm{~K}) \text { e } C_{p}=29,32 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kmol} \backslash \mathrm{~K})
Com base nessas informações:
a) Calcule as variações da energia interna molar e da entalpia molar do ar entre os estados inicial e final.
b) Discuta, do ponto de vista termodinâmico, por que não é possível determinar os valores do calor e do trabalho associados ao processo com os dados fornecidos.

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (respire fundo — a gente constrói passo a passo).
Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial: T_{1}=277{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_{2}=333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_{1}=1{,}013\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão final: P_{2}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume molar inicial: v_{1}=2{,}28\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kmol}.
  • Para o ar, calores específicos (assumidos constantes):
    • C_{v}=20{,}94\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}).
    • C_{p}=29{,}32\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}).
  • O enunciado afirma que \dfrac{P V}{T} permanece constante durante o processo (isto é a identidade clássica para gás ideal fechado; veremos o significado dela).
O que o enunciado pede:
a) Calcular as variações molares da energia interna e da entalpia entre os estados inicial e final: \Delta u (energia interna molar) e \Delta h (entalpia molar).
b) Discutir termodinamicamente por que NÃO é possível determinar os valores do calor Q e do trabalho W do processo com os dados dados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aulas rápidas e objetivas).
  • Para um gás ideal com calores específicos constantes, a variação da energia interna molar é dada por
\Delta u = C_{v}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui:
  • \Delta u tem unidade \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol},
  • C_{v} é o calor molar a volume constante em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}),
  • T_{1},T_{2} em \mathrm{K}.
  • A variação da entalpia molar é
\Delta h = C_{p}\,(T_{2}-T_{1}).
  • Explicação rápida do porquê: para gás ideal, u=u(T) e h=h(T) quando C_v e C_p são constantes; portanto \Delta u e \Delta h dependem só de \Delta T (são funções de estado).
  • Relação útil: C_{p}-C_{v}=R (constante dos gases na mesma base molar), então \Delta h-\Delta u = (C_{p}-C_{v})(T_{2}-T_{1}) = R\,(T_{2}-T_{1}). Isso serve como checagem.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura (passo simples, mas fundamental):
\Delta T = T_{2}-T_{1} = 333{,}15 - 277{,}6 = 55{,}55\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular \Delta u usando \Delta u = C_{v}\,\Delta T.
Aplicando os números:
\Delta u = 20{,}94\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}}\times 55{,}55\\ \mathrm{K}.
Vamos multiplicar passo a passo:
20{,}94\times 55{,}55 = 1163{,}2225\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
\Delta u \approx 1163{,}22\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.

Passo 5

Calcular \Delta h usando \Delta h = C_{p}\,\Delta T.
Aplicando os números:
\Delta h = 29{,}32\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}}\times 55{,}55\\ \mathrm{K},
29{,}32\times 55{,}55 = 1628{,}726\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol},
logo, com arredondamento:
\Delta h \approx 1628{,}73\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (sempre bom para prova): calcule R=C_{p}-C_{v} e verifique \Delta h-\Delta u = R\Delta T.
R = 29{,}32 - 20{,}94 = 8{,}38\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}).
R\Delta T = 8{,}38\times 55{,}55 = 465{,}5039\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.
E
\Delta h - \Delta u = 1628{,}726 - 1163{,}2225 = 465{,}5035\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol},
que bate numericamente (diferenças de arredondamento). Ótimo — resultados consistentes.

Passo 7

Agora a parte conceitual b) — por que NÃO podemos determinar Q e W com os dados fornecidos?
Explicação didática e simples:
  • Diferença fundamental: \Delta u e \Delta h são funções de estado — dependem apenas dos estados inicial e final (por isso conseguimos calcular só com temperaturas e C_v,C_p). Já Q (calor trocado) e W (trabalho) são funções de caminho — dependem de como o sistema foi levado do estado inicial ao final.
  • A informação « \dfrac{PV}{T}= constante» não é uma restrição adicional sobre o caminho: para um gás ideal fechado isso é sempre verdade (é a forma da equação de estado PV=nRT, com nR constante). Portanto o enunciado não especifica a relação P(V) do processo (ou seja, não diz se o processo foi isocórico, isobárico, politrópico com certo expoente, uma combinação de passos, etc.). Sem a relação P(V) ao longo do processo não se pode calcular W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,\mathrm{d}Vnem, pela primeira lei \Delta U = Q - W (adotando convenção W trabalho realizado pelo sistema), determinar Q.
  • Exemplo ilustrativo (para convencer de vez): com os mesmos estados inicial/final existem caminhos possíveis que dão trabalhos e calores muito diferentes.
    • Caminho 1 (isochorico direto): aquecimento a volume constante até T_{2}. Nesse caso W=0 e Q=\Delta U\approx 1163{,}22\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.
    • Caminho 2 (dois passos construídos: primeiro aquecer a volume constante de T_{1} para T_{2}, depois expandir isotermicamente a T_{2} até a pressão final): esse caminho produz um trabalho positivo maior que zero. Se fizermos as contas para esse caminho concreto (apenas para ilustrar), usando R=8{,}38\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}), T_{2}=333{,}15\\ \mathrm{K} e a razão \dfrac{v_{2}}{v_{1}}= \dfrac{P_{1}}{P_{2}}\cdot\dfrac{T_{2}}{T_{1}}\approx 12{,}00, obtemos para a etapa isotérmica
    W_{\text{isoT}} = R\,T_{2}\,\ln\!\left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)\approx 6938{,}53\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol},e então Q = \Delta U + W \approx 1163{,}22 + 6938{,}53 = 8101{,}75\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}.
    • Repare: caminhos diferentes deram W=0 (caminho 1) versus W\approx 6938{,}5\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol} (caminho 2). Logo não há um único W ou Q determinado apenas pelos estados inicial e final.
  • Conclusão conceitual: sem especificar o caminho (ou alguma lei adicional do tipo P V^{n}= constante com n conhecido, ou processo reversível com função T(V), etc.), Q e W são indistintos — não é possível calculá-los unicamente a partir dos dados fornecidos.

Resposta

a) \Delta u \approx 1163{,}22\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}
a) \Delta h \approx 1628{,}73\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kmol}
b) Não é possível determinar Q e W porque ambos são funções de caminho (dependem do processo realizado), enquanto os dados fornecidos (estados inicial e final e a validade de PV/T= constante, que é a equação de estado do gás ideal) não especificam o caminho P(V). Portanto existem muitos processos possíveis entre os dois estados que resultam em valores diferentes de calor e trabalho.

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