Considere dois tanques em série em que a vazão de saída do primeiro tanque (
) é a vazão de alimentação do segundo tanque.
a) Determine a equação diferencial ordinária que representará a variação da altura do líquido no tanque dois, em função da vazão de alimentação do tanque 1. Será assumido que
e a área da base do tanque é igual para os dois tanques.
b) Determine a equação que irá caracterizar o comportamento da altura em função do tempo no tanque 1 e no tanque 2.
a) Determine a equação diferencial ordinária que representará a variação da altura do líquido no tanque dois, em função da vazão de alimentação do tanque 1. Será assumido que
b) Determine a equação que irá caracterizar o comportamento da altura em função do tempo no tanque 1 e no tanque 2.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
- Dois tanques em série; a vazão de saída do tanque 1 é a vazão de alimentação do tanque 2.
- Relações lineares entre vazões e alturas:
e . - As áreas da base dos dois tanques são iguais; chamo essa área comum de
. - Não foi explicitado no enunciado a vazão de alimentação ao tanque 1; vou chamar essa vazão de entrada de
(pode ser constante). Também serão consideradas as condições iniciais e .
-
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a variação da altura no tanque 2 em função da vazão de alimentação do tanque 1.
(b) Determinar as equações que caracterizam o comportamento das alturase ao longo do tempo (isto é, resolver as EDOs com as relações dadas).
Passo 2
Princípio físico e modelagem básica (massa/volume):
- Para cada tanque, aplica-se o balanço de volume: variação do volume dentro do tanque = vazão de entrada − vazão de saída.
- Volume do líquido em um tanque é
, onde é a área da base e a altura do líquido. - Assim, para um tanque genérico:
Explicação didática: essa fórmula vem do fato que
; as vazões entram/saem em unidades de volume por tempo, então a diferença delas é exatamente
.
Passo 3
Derivando a EDO do tanque 2 em função de
(resposta do item (a)):
- Para o tanque 2 o balanço é:
- A vazão de entrada ao tanque 2 é
(saída do tanque 1). A vazão de saída é . - Logo:
- Substituindo
obtemos a forma usual do sistema:
Comentário didático: esta é uma EDO de primeira ordem, linear, em
mas acoplada a
(porque
aparece no termo de entrada).
Passo 4
Escrevendo o sistema completo (preparação para o item (b)):
- Para o tanque 1 (entrada
, saída ): - Para o tanque 2 (já obtido):
- Essas duas equações formam um sistema linear de primeira ordem acoplado; agora vamos resolver explicitamente para
e , supondo constante e conhecidas , .
Passo 5
Resolvendo a EDO do tanque 1 (primeira etapa de solução):
- Escrevemos a EDO em forma padrão:
- Isto é uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente constante. A solução geral é a soma da solução estacionária (particular) e da solução homogênea:
- Estado estacionário (quando
): - Solução completa (usando o fator integrador ou fórmula padrão):
- Estado estacionário (quando
Explicação didática curta: a constante
é a taxa com que o tanque 1 “relaxa” para seu valor de regime permanente
. O termo exponencial descreve a aproximação exponencial ao regime.
Passo 6
Resolvendo a EDO do tanque 2 (segunda etapa):
- Reescrevemos a EDO do tanque 2 em forma padrão:
- Defina
e para simplificar notação. Usando a solução encontrada para : - A EDO de
é uma EDO linear não-homogênea com termo forçante conhecido (soma de uma constante e de uma exponencial). A solução via fator integrante dá a forma conveniente: - Avaliando a integral explicitamente (assumindo
; depois tratamos o caso igual): - Primeiro observe que
. - Então, após integrar e simplificar, obtém-se a forma compacta e muito útil:
onde o estado estacionário do tanque 2 é
- Primeiro observe que
- Interpretação didática da solução:
- A solução é soma de três termos: o valor em regime permanente
, uma contribuição exponencial com tempo característico ligada ao próprio tanque 2 e uma diferença de exponenciais que aparece porque o tanque 2 é forçado pela resposta do tanque 1 (que tem seu próprio tempo característico ). - Se
e forem bem diferentes, um dos modos (exponenciais) dominará a resposta transitória; se próximos, ambos contribuem de forma importante.
- A solução é soma de três termos: o valor em regime permanente
Passo 7
Caso especial
(ou seja
):
- Quando
, a integral que aparece na solução gera um termo proporcional a . O resultado nesse caso é: - Esse termo em
é típico quando as raízes dos exponenciais coincidem (resposta com “modo crítico” ou ressonante entre os dois tanques).
Passo 8
Resumo e pistas práticas para prova (motivação e como aplicar rápido):
- Modelo rápido a decorar:
- Soluções (para
, , e ):
- Se
, usar a forma com termo indicada no passo anterior.
Resposta
com a forma limite para