Considere dois tanques em série em que a vazão de saída do primeiro tanque ( F_{1} ) é a vazão de alimentação do segundo tanque.
a) Determine a equação diferencial ordinária que representará a variação da altura do líquido no tanque dois, em função da vazão de alimentação do tanque 1. Será assumido que \mathrm{F}_{1}=\beta_{1} \mathrm{~h}_{1}, \mathrm{~F}_{2}=\beta_{2} \mathrm{~h}_{2} e a área da base do tanque é igual para os dois tanques.
b) Determine a equação que irá caracterizar o comportamento da altura em função do tempo no tanque 1 e no tanque 2.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Dois tanques em série; a vazão de saída do tanque 1 é a vazão de alimentação do tanque 2.
    • Relações lineares entre vazões e alturas:
      \mathrm{F}_{1}=\beta_{1}\,\mathrm{h}_{1} e \mathrm{F}_{2}=\beta_{2}\,\mathrm{h}_{2}.
    • As áreas da base dos dois tanques são iguais; chamo essa área comum de A.
    • Não foi explicitado no enunciado a vazão de alimentação ao tanque 1; vou chamar essa vazão de entrada de \mathrm{F}_{\mathrm{in}} (pode ser constante). Também serão consideradas as condições iniciais \mathrm{h}_{1}(0)=\mathrm{h}_{1,0} e \mathrm{h}_{2}(0)=\mathrm{h}_{2,0}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a variação da altura no tanque 2 em função da vazão de alimentação do tanque 1.
    (b) Determinar as equações que caracterizam o comportamento das alturas \mathrm{h}_{1}(t) e \mathrm{h}_{2}(t) ao longo do tempo (isto é, resolver as EDOs com as relações dadas).

Passo 2

Princípio físico e modelagem básica (massa/volume):
  • Para cada tanque, aplica-se o balanço de volume: variação do volume dentro do tanque = vazão de entrada − vazão de saída.
  • Volume do líquido em um tanque é V=A\,h, onde A é a área da base e h a altura do líquido.
  • Assim, para um tanque genérico: A\frac{d h}{d t} = \text{(vazão de entrada)} - \text{(vazão de saída)}.ããí
Explicação didática: essa fórmula vem do fato que dV/dt = A\,dh/dt; as vazões entram/saem em unidades de volume por tempo, então a diferença delas é exatamente dV/dt.

Passo 3

Derivando a EDO do tanque 2 em função de \mathrm{F}_{1} (resposta do item (a)):
  • Para o tanque 2 o balanço é: A\frac{d h_{2}}{d t} = \text{(vazão de entrada ao tanque 2)} - \text{(vazão de saída do tanque 2)}.ããí
  • A vazão de entrada ao tanque 2 é \mathrm{F}_{1} (saída do tanque 1). A vazão de saída é \mathrm{F}_{2}=\beta_{2}\,h_{2}.
  • Logo: A\frac{d h_{2}}{d t} = \mathrm{F}_{1} - \beta_{2}\,h_{2}.
  • Substituindo \mathrm{F}_{1}=\beta_{1}\,h_{1} obtemos a forma usual do sistema: A\frac{d h_{2}}{d t} = \beta_{1}\,h_{1} - \beta_{2}\,h_{2}.
Comentário didático: esta é uma EDO de primeira ordem, linear, em h_{2} mas acoplada a h_{1} (porque h_{1} aparece no termo de entrada).

Passo 4

Escrevendo o sistema completo (preparação para o item (b)):
  • Para o tanque 1 (entrada \mathrm{F}_{\mathrm{in}}, saída \mathrm{F}_{1}=\beta_{1}h_{1}): A\frac{d h_{1}}{d t} = \mathrm{F}_{\mathrm{in}} - \beta_{1}\,h_{1}.
  • Para o tanque 2 (já obtido): A\frac{d h_{2}}{d t} = \beta_{1}\,h_{1} - \beta_{2}\,h_{2}.
  • Essas duas equações formam um sistema linear de primeira ordem acoplado; agora vamos resolver explicitamente para \mathrm{h}_{1}(t) e \mathrm{h}_{2}(t), supondo \mathrm{F}_{\mathrm{in}} constante e conhecidas \mathrm{h}_{1,0}, \mathrm{h}_{2,0}.

Passo 5

Resolvendo a EDO do tanque 1 (primeira etapa de solução):
  • Escrevemos a EDO em forma padrão: \frac{d h_{1}}{d t} + \frac{\beta_{1}}{A}\,h_{1} = \frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{A}.
  • Isto é uma EDO linear de primeira ordem com coeficiente constante. A solução geral é a soma da solução estacionária (particular) e da solução homogênea:
    • Estado estacionário (quando d h_{1}/dt=0): h_{1,\infty} = \frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}}.
    • Solução completa (usando o fator integrador ou fórmula padrão): h_{1}(t)=h_{1,\infty} +\bigl(h_{1,0}-h_{1,\infty}\bigr)\,\mathrm{e}^{-(\beta_{1}/A)\,t}.
Explicação didática curta: a constante \beta_{1}/A é a taxa com que o tanque 1 “relaxa” para seu valor de regime permanente h_{1,\infty}. O termo exponencial descreve a aproximação exponencial ao regime.

Passo 6

Resolvendo a EDO do tanque 2 (segunda etapa):
  • Reescrevemos a EDO do tanque 2 em forma padrão: \frac{d h_{2}}{d t} + \frac{\beta_{2}}{A}\,h_{2} = \frac{\beta_{1}}{A}\,h_{1}(t).
  • Defina \alpha_{1}=\beta_{1}/A e \alpha_{2}=\beta_{2}/A para simplificar notação. Usando a solução encontrada para h_{1}(t): h_{1}(t)=h_{1,\infty} + (h_{1,0}-h_{1,\infty})\,\mathrm{e}^{-\alpha_{1} t}, \qquad h_{1,\infty}=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}}.
  • A EDO de h_{2} é uma EDO linear não-homogênea com termo forçante conhecido (soma de uma constante e de uma exponencial). A solução via fator integrante dá a forma conveniente: h_{2}(t)=\mathrm{e}^{-\alpha_{2} t}\left[h_{2,0}+\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{\alpha_{2}s}\,\alpha_{1}\,h_{1}(s)\,ds\right].
  • Avaliando a integral explicitamente (assumindo \alpha_{1}\neq\alpha_{2}; depois tratamos o caso igual):
    • Primeiro observe que \alpha_{1}h_{1}(s)=\dfrac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{A}+\alpha_{1}(h_{1,0}-h_{1,\infty})\mathrm{e}^{-\alpha_{1}s}.
    • Então, após integrar e simplificar, obtém-se a forma compacta e muito útil: h_{2}(t)=h_{2,\infty} + (h_{2,0}-h_{2,\infty})\,\mathrm{e}^{-\alpha_{2} t} +\frac{\alpha_{1}\,\bigl(h_{1,0}-h_{1,\infty}\bigr)}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\left(\mathrm{e}^{-\alpha_{1} t}-\mathrm{e}^{-\alpha_{2} t}\right),onde o estado estacionário do tanque 2 é h_{2,\infty}=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}}.
  • Interpretação didática da solução:
    • A solução é soma de três termos: o valor em regime permanente h_{2,\infty}, uma contribuição exponencial com tempo característico 1/\alpha_{2} ligada ao próprio tanque 2 e uma diferença de exponenciais que aparece porque o tanque 2 é forçado pela resposta do tanque 1 (que tem seu próprio tempo característico 1/\alpha_{1}).
    • Se \alpha_{1} e \alpha_{2} forem bem diferentes, um dos modos (exponenciais) dominará a resposta transitória; se próximos, ambos contribuem de forma importante.

Passo 7

Caso especial \alpha_{1}=\alpha_{2} (ou seja \beta_{1}=\beta_{2}):
  • Quando \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha, a integral que aparece na solução gera um termo proporcional a t\,\mathrm{e}^{-\alpha t}. O resultado nesse caso é: h_{2}(t)=h_{2,\infty} + (h_{2,0}-h_{2,\infty})\,\mathrm{e}^{-\alpha t} +\alpha\,(h_{1,0}-h_{1,\infty})\,t\,\mathrm{e}^{-\alpha t}.
  • Esse termo em t\,\mathrm{e}^{-\alpha t} é típico quando as raízes dos exponenciais coincidem (resposta com “modo crítico” ou ressonante entre os dois tanques).

Passo 8

Resumo e pistas práticas para prova (motivação e como aplicar rápido):
  • Modelo rápido a decorar: A\frac{d h_{1}}{d t}=\mathrm{F}_{\mathrm{in}}-\beta_{1}h_{1}, \qquad A\frac{d h_{2}}{d t}=\beta_{1}h_{1}-\beta_{2}h_{2}.
  • Soluções (para \beta_{1}/A=\alpha_{1}, \beta_{2}/A=\alpha_{2}, e \alpha_{1}\neq\alpha_{2}): h_{1}(t)=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}} +\bigl(h_{1,0}-\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}}\bigr)\mathrm{e}^{-\alpha_{1} t},
h_{2}(t)=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}} + (h_{2,0}-\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}})\mathrm{e}^{-\alpha_{2} t} +\frac{\alpha_{1}\,(h_{1,0}-\mathrm{F}_{\mathrm{in}}/\beta_{1})}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\bigl(\mathrm{e}^{-\alpha_{1} t}-\mathrm{e}^{-\alpha_{2} t}\bigr).
  • Se \alpha_{1}=\alpha_{2}, usar a forma com termo t\,\mathrm{e}^{-\alpha t} indicada no passo anterior.

Resposta

A\displaystyle\frac{d h_{2}}{d t}=\mathrm{F}_{1}-\beta_{2}h_{2}=\beta_{1}h_{1}-\beta_{2}h_{2}.
h_{1}(t)=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}}+\biggl(h_{1,0}-\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{1}}\biggr)\mathrm{e}^{-(\beta_{1}/A)t},
h_{2}(t)=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}}+(h_{2,0}-\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}})\mathrm{e}^{-(\beta_{2}/A)t} +\frac{(\beta_{1}/A)\bigl(h_{1,0}-\mathrm{F}_{\mathrm{in}}/\beta_{1}\bigr)}{(\beta_{2}-\beta_{1})/A}\Bigl(\mathrm{e}^{-(\beta_{1}/A)t}-\mathrm{e}^{-(\beta_{2}/A)t}\Bigr),
com a forma limite para \beta_{1}=\beta_{2}
h_{2}(t)=\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}}+(h_{2,0}-\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{in}}}{\beta_{2}})\mathrm{e}^{-\alpha t} +\alpha\,(h_{1,0}-\mathrm{F}_{\mathrm{in}}/\beta_{1})\,t\,\mathrm{e}^{-\alpha t},\quad \alpha=\frac{\beta_{1}}{A}.

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