Determine a equação de variação de água dentro do tanque, considerando que a vazão de saída varie com a altura da água dentro do tanque. Considere que a densidade da água um valor constante (
). Descreva a equação para as seguintes situações:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Foi dado que a densidade da água tem valor constante
. - Foi dada a lei da vazão de saída em função da altura:
, com constante. - O objetivo é obter a equação que descreve a variação da água dentro do tanque, isto é, uma equação para a altura
(ou para o volume) em função do tempo. - Variáveis e quantidades que vamos usar (nomes e significado):
-
: altura da coluna de água no tanque no instante . -
: volume de água no tanque no instante . -
: área da secção transversal do tanque à altura (pode depender de ; para um cilindro vertical constante). -
: vazão de saída. Aqui foi dada . -
: vazão de entrada (se existir). O enunciado não a deu explicitamente; vamos manter a formulação geral incluindo e depois tratar o caso sem entrada.
-
- Pergunta explícita: escrever a equação diferencial que relaciona
com as vazões e com , usando a lei dada .
Passo 2
Princípio físico e relação volume/altura — conservação de massa (explicadinha e delicinha):
- Conservação de massa para o fluido no tanque diz que a taxa de variação da massa dentro do tanque é igual à massa que entra menos a massa que sai.
- Massa no tanque:
, porque é constante. - Taxa de variação da massa:
- As vazões
e que usamos aqui são vazões volumétricas (unidades de volume por tempo). Então as taxas de massa de entrada e saída são e . - Equação de balanço de massa:
- Como
é constante e aparece em todos os termos, podemos dividir por e obter o balanço em termos volumétricos:
Passo 3
Ligando volume e altura (cadeado matemático que você usa na prova):
- O volume
até a altura é obtido por integração da área da secção transversal: Em particular, derivando em relação ao tempo (pela regra da cadeia): porque . - Substituindo este resultado no balanço volumétrico do passo anterior:
Esta é a equação diferencial geral da evolução da altura no tanque, válida para qualquer forma do tanque (desde que seja conhecida) e qualquer vazão de entrada .
Passo 4
Inserindo a lei dada da vazão de saída
:
- Substituindo
na equação do passo anterior obtemos a equação diferencial que descreve : - Observações rápidas e úteis:
- Se
for conhecida (por exemplo para um cone ou um cilindro), essa equação fica completamente determinada. - Se
fosse dada como vazão mássica em vez de volumétrica, deveríamos usar nos termos de massa; porém, com densidade constante o fator cancela e a forma em termos de volumes é a mesma.
- Se
Passo 5
Caso simples e muito comum em provas: tanque de seção constante
e entrada nula
- Nesse caso a equação fica mais simples:
- Reescrevendo:
- Esta é uma equação diferencial ordinária separável; vamos resolver passo a passo para você decorar o procedimento:
Passos para resolver (separação de variáveis):
- Escreve de forma que todos os
fiquem num lado e no outro: - Integra ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é . Assim: onde é a constante de integração. - Aplicando condição inicial típica
para determinar : - Portanto a solução explícita é
ou seja válida enquanto o parêntese for não-negativo (até o esvaziamento). - Tempo até esvaziar (quando
): resolvendo dá
Passo 6
Interpretações finais, dicas para prova e coisas que costumam cair:
- Fórmula geral (que cai direto quando pedem “equação de variação”) é
Se o examinador não deu , muitas vezes quer o caso . - Para cilindro (A constante) e sem entrada, a equação e a solução fechada são fáceis de obter e capazes de levar ao tempo de esvaziamento. Memorize a técnica de separação de variáveis — é a mais usada nesses problemas.
- Se o tanque tiver seção variável (por exemplo, um cone), substitui
pela expressão geométrica (para um cone vertical ou algo parecido dependendo da geometria) e obtém uma ODE que pode ou não ser integrável analiticamente; aí proceda com separação quando possível.