Determine a equação de variação de água dentro do tanque, considerando que a vazão de saída varie com a altura da água dentro do tanque. Considere que a densidade da água um valor constante ( \rho ). Descreva a equação para as seguintes situações:
F=R \cdot\left(h^{1 / 2}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Foi dado que a densidade da água tem valor constante \rho.
  • Foi dada a lei da vazão de saída em função da altura: \;F(h)=R\cdot\bigl(h^{1/2}\bigr), com R constante.
  • O objetivo é obter a equação que descreve a variação da água dentro do tanque, isto é, uma equação para a altura h(t) (ou para o volume) em função do tempo.
  • Variáveis e quantidades que vamos usar (nomes e significado):
    • h(t): altura da coluna de água no tanque no instante t.
    • V(t): volume de água no tanque no instante t.
    • A(h): área da secção transversal do tanque à altura h (pode depender de h; para um cilindro vertical A(h)=A constante).
    • F(h): vazão de saída. Aqui foi dada \;F(h)=R\,h^{1/2}.
    • Q_{\text{in}}(t): vazão de entrada (se existir). O enunciado não a deu explicitamente; vamos manter a formulação geral incluindo Q_{\text{in}}(t) e depois tratar o caso sem entrada.
  • Pergunta explícita: escrever a equação diferencial que relaciona \dfrac{dh}{dt} com as vazões e com h, usando a lei dada F(h)=R\,h^{1/2}.

Passo 2

Princípio físico e relação volume/altura — conservação de massa (explicadinha e delicinha):
  • Conservação de massa para o fluido no tanque diz que a taxa de variação da massa dentro do tanque é igual à massa que entra menos a massa que sai.
  • Massa no tanque: \;M(t)=\rho\,V(t), porque \rho é constante.
  • Taxa de variação da massa: \frac{dM}{dt}=\rho\,\frac{dV}{dt}.
  • As vazões Q_{\text{in}}(t) e F(h) que usamos aqui são vazões volumétricas (unidades de volume por tempo). Então as taxas de massa de entrada e saída são \rho\,Q_{\text{in}}(t) e \rho\,F(h).
  • Equação de balanço de massa: \rho\,\frac{dV}{dt} = \rho\,Q_{\text{in}}(t) - \rho\,F(h).
  • Como \rho é constante e aparece em todos os termos, podemos dividir por \rho e obter o balanço em termos volumétricos: \frac{dV}{dt} = Q_{\text{in}}(t) - F(h).

Passo 3

Ligando volume e altura (cadeado matemático que você usa na prova):
  • O volume V até a altura h é obtido por integração da área da secção transversal: V(h)=\int_{0}^{h} A(s)\,ds.Em particular, derivando em relação ao tempo (pela regra da cadeia): \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}=A(h)\,\frac{dh}{dt},porque \dfrac{dV}{dh}=A(h).
  • Substituindo este resultado no balanço volumétrico do passo anterior: A(h)\,\frac{dh}{dt}=Q_{\text{in}}(t)-F(h).Esta é a equação diferencial geral da evolução da altura h(t) no tanque, válida para qualquer forma do tanque (desde que A(h) seja conhecida) e qualquer vazão de entrada Q_{\text{in}}(t).

Passo 4

Inserindo a lei dada da vazão de saída \;F(h)=R\,h^{1/2}:
  • Substituindo F(h) na equação do passo anterior obtemos a equação diferencial que descreve h(t): A(h)\,\frac{dh}{dt}=Q_{\text{in}}(t)-R\,h^{1/2}.
  • Observações rápidas e úteis:
    • Se A(h) for conhecida (por exemplo para um cone ou um cilindro), essa equação fica completamente determinada.
    • Se F(h) fosse dada como vazão mássica em vez de volumétrica, deveríamos usar \rho F nos termos de massa; porém, com densidade constante \rho o fator cancela e a forma em termos de volumes é a mesma.

Passo 5

Caso simples e muito comum em provas: tanque de seção constante A(h)=A e entrada nula Q_{\text{in}}(t)=0
  • Nesse caso a equação fica mais simples: A\,\frac{dh}{dt} = -R\,h^{1/2}.
  • Reescrevendo: \frac{dh}{dt} = -\frac{R}{A}\,h^{1/2}.
  • Esta é uma equação diferencial ordinária separável; vamos resolver passo a passo para você decorar o procedimento:
Passos para resolver (separação de variáveis):
  1. Escreve de forma que todos os h fiquem num lado e t no outro: h^{-1/2}\,dh = -\frac{R}{A}\,dt.
  2. Integra ambos os lados: \int h^{-1/2}\,dh = \int -\frac{R}{A}\,dt.A integral do lado esquerdo é 2\,h^{1/2}. Assim: 2\,h^{1/2} = -\frac{R}{A}\,t + C,onde C é a constante de integração.
  3. Aplicando condição inicial típica h(0)=h_0 para determinar C: 2\sqrt{h_0}=C.
  4. Portanto a solução explícita é \sqrt{h(t)}=\sqrt{h_0}-\frac{R}{2A}\,t,ou seja h(t)=\Biggl(\sqrt{h_0}-\frac{R}{2A}\,t\Biggr)^{2},válida enquanto o parêntese for não-negativo (até o esvaziamento).
  5. Tempo até esvaziar (quando h=0): resolvendo \sqrt{h_0}-\dfrac{R}{2A}\,t^*=0 t^{*}=\frac{2A\sqrt{h_0}}{R}.

Passo 6

Interpretações finais, dicas para prova e coisas que costumam cair:
  • Fórmula geral (que cai direto quando pedem “equação de variação”) é A(h)\,\frac{dh}{dt}=Q_{\text{in}}(t)-R\,h^{1/2}.Se o examinador não deu Q_{\text{in}}, muitas vezes quer o caso Q_{\text{in}}=0.
  • Para cilindro (A constante) e sem entrada, a equação e a solução fechada são fáceis de obter e capazes de levar ao tempo de esvaziamento. Memorize a técnica de separação de variáveis — é a mais usada nesses problemas.
  • Se o tanque tiver seção variável (por exemplo, um cone), substitui A(h) pela expressão geométrica (para um cone vertical A(h)=k\,h^{2} ou algo parecido dependendo da geometria) e obtém uma ODE que pode ou não ser integrável analiticamente; aí proceda com separação quando possível.

Resposta

A(h)\,\frac{dh}{dt}=Q_{\text{in}}(t)-R\,h^{1/2}
\text{(Para seção constante \(A\) e sem entrada }Q_{\text{in}}=0\text{):}\qquad \frac{dh}{dt}=-\frac{R}{A}\,h^{1/2}çã
\text{Solução com }h(0)=h_0:\qquad h(t)=\Biggl(\sqrt{h_0}-\frac{R}{2A}\,t\Biggr)^{2},\qquad t^{*}=\frac{2A\sqrt{h_0}}{R}çã

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