Considere um sistema onde a Lagrangiana é dada por L=\frac{1}{2} m \dot{X}^{2}-\frac{1}{2} k x^{2}, onde m é a massa da partícula, \dot{X} é a velocidade, e k é a constante da mola e identifique a expressão para a força na direção x usando a definição da Lagrangiana.
a. F_{x}=2 k x
b. F_{x}=\frac{x}{k}
c. F_{x}=-k x
d. F_{x}=k x
e. F_{x}=\frac{k}{X}

Passo 1

O enunciado nos dá a Lagrangiana de uma partícula de massa m presa a uma mola de constante k na direção x:
L = \frac12\,m\,\dot x^2 - \frac12\,k\,x^2.
O conteúdo é a formulação lagrangeana e vamos usar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento e, daí, a força na direção x.

Passo 2

Escrevemos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada x:
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\Bigr) \;=\; \frac{\partial L}{\partial x}.

Passo 3

Calculamos primeiro o momento conjugado (derivada de L em relação a \dot x):
\frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial}{\partial \dot x}\Bigl(\tfrac12\,m\,\dot x^2\Bigr) = m\,\dot x.
Aplicando a derivada temporal:
\frac{d}{dt}\!\bigl(m\,\dot x\bigr) = m\,\ddot x.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de L em relação a x:
\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac12\,k\,x^2\Bigr) = -\,k\,x.

Passo 5

Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
m\,\ddot x \;=\; -\,k\,x.
Reconhecendo que m\,\ddot x é a força resultante F_x na direção x, obtemos
F_{x} = -\,k\,x.

Resposta

c. F_{x}=-k\,x

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