Considere um volume elementar no espaço de fase que se assume como unidade de granulamento, de tal forma que o valor da densidade de espaço de fase numa dessas regiões do espaço de fase vale a média localizada de rho nesse volume. Mostre que na situação da alínea anterior é possível qualquer tal densidade de espaço de fase e que ela é estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço de fase e a densidade de espaço de fase. Basicamente, estamos lidando com como as partículas estão distribuídas nesse espaço. Precisamos mostrar que, considerando um volume elementar no espaço de fase como unidade, qualquer densidade dessa forma pode existir e que ela permanece estacionária, ou seja, não muda com o tempo. Para resolver isso, vamos entender o que é espaço de fase, como a densidade é definida nesse contexto e por que ela não muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é espaço de fase. Imagine que cada partícula em um sistema é descrita por suas coordenadas de posição e momento. O espaço formado por todas essas coordenadas é o espaço de fase. Cada ponto nesse espaço representa um estado possível do sistema.

Passo 3

Agora, a densidade de espaço de fase, denotada por rho, nos diz quão “concentradas” estão as partículas em diferentes regiões desse espaço. No exercício, consideramos que o espaço de fase está dividido em volumes elementares de unidade. Assim, o valor de rho em um desses volumes é simplesmente a média de rho naquele volume específico.

Passo 4

Para mostrar que qualquer densidade de espaço de fase desse tipo é possível e estacionária, vamos usar o conceito de que, em um sistema isolado, a densidade de fase não muda com o tempo. Isso está relacionado ao teorema de Liouville, que afirma que a densidade de fase se conserva ao longo do tempo se o sistema evolui de forma determinística e reversível.

Passo 5

Como cada volume elementar é uma unidade e a densidade é a média localizada de rho nesse volume, qualquer distribuição que respeite essa média pode ser considerada válida. E, segundo o teorema de Liouville, se não há forças externas ou interações que alterem a distribuição, essa densidade não muda com o tempo, ou seja, é estacionária.

Resposta

Portanto, mostramos que, ao considerar volumes elementares unitários no espaço de fase e definir a densidade rho como a média local nesses volumes, é possível ter qualquer distribuição de densidade de espaço de fase, e essa distribuição permanece constante no tempo, ou seja, é estacionária.

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