Determine e represente a densidade do espaço de fase dependente do tempo a partir da Equação de Liouville.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar e representar a densidade do espaço de fase que depende do tempo, usando a Equação de Liouville. A matéria envolve Mecânica Estatística e Dinâmica de Sistemas Hamiltonianos. Para resolver, vamos precisar entender o que é a densidade no espaço de fase e como a Equação de Liouville descreve a evolução dessa densidade ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço de fase. Em mecânica clássica, o espaço de fase é um espaço multidimensional onde cada ponto representa um estado completo do sistema, com coordenadas de posição e momento. A densidade no espaço de fase, denotada por $ \rho(q, p, t) $, indica a distribuição das partículas nesse espaço em um dado instante de tempo.

Passo 3

A Equação de Liouville nos diz como essa densidade evolui ao longo do tempo. A equação é dada por:
partial rhopartial t + rho, H = 0
Aqui, $ H $ é a função Hamiltoniana do sistema, e $ { \rho, H } $ representa o colchete de Poisson, que envolve derivadas parciais de $ \rho $ e $ H $ em relação às coordenadas e momentos.

Passo 4

Vamos assumir que a função Hamiltoniana $ H $ não depende explicitamente do tempo. Nesse caso, a Equação de Liouville simplifica para:
H
Isso nos mostra que a taxa de variação da densidade no espaço de fase é determinada pelo colchete de Poisson entre a densidade e a Hamiltoniana.

Passo 5

Para resolver a Equação de Liouville, precisamos expressar o colchete de Poisson. Para um sistema com coordenadas genéricas $ q_i $ e momentos $ p_i $, o colchete de Poisson é:
qi

Passo 6

Agora, substituímos o colchete de Poisson na Equação de Liouville:
partial rhopartial t = - sumi ( partial rhopartial qi partial Hpartial pi - partial rhopartial pi partial Hpartial qi )
Essa equação descreve como a densidade $ \rho $ muda no tempo devido às variações nas coordenadas e momentos do sistema.

Passo 7

Para encontrar a densidade dependente do tempo, podemos usar o método das características ou reconhecer que, para sistemas hamiltonianos, a densidade no espaço de fase é conservada ao longo das trajetórias do sistema. Isso implica que:
rho(q, p, t) = rho(q0, p0, t0)
onde $ (q_0, p_0) $ são as coordenadas e momentos iniciais.

Passo 8

Portanto, a solução geral da Equação de Liouville nos diz que a densidade no espaço de fase se mantém constante ao longo da evolução temporal do sistema, ou seja, a densidade é invariante no tempo para sistemas conservativos.

Resposta

A densidade do espaço de fase dependente do tempo, a partir da Equação de Liouville, é igual à densidade inicial deslocada pelas trajetórias hamiltonianas, ou seja:
rho(q, p, t) = rho(q0, p0, t0)
Isso significa que a densidade no espaço de fase é conservada ao longo do tempo.

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