Suponha que a determinado instante o capilar é bloqueado de forma inflexível nas posições
, defina a densidade do espaço de fase no plano
para tempos maiores do que o tempo de relaxação imposto pelas novas condições do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema onde, em um certo momento, um capilar é bloqueado de forma inflexível nas posições $ q = \pm Q $. O assunto aqui é a densidade do espaço de fase, que é uma função que descreve como as partículas ou estados do sistema estão distribuídos no plano de coordenadas $ (p, q) $, onde $ p $ é o momento e $ q $ é a posição. Para resolver isso, vamos precisar entender como o sistema se comporta ao longo do tempo, especialmente depois que ele alcança o tempo de relaxação, que é o tempo necessário para o sistema se estabilizar após a mudança nas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o capilar estar bloqueado em $ q = \pm Q $. Isso quer dizer que as partículas ou o sistema não podem se mover além dessas posições. Então, para tempos maiores que o tempo de relaxação, as partículas estarão restritas exatamente nesses dois pontos: $ q = Q $ e $ q = -Q $.
Passo 3
Agora, vamos pensar na densidade do espaço de fase. Em geral, essa densidade, denotada por $ \rho(p, q) $, nos dá a probabilidade de encontrar o sistema em um ponto específico $ (p, q) $ no espaço de fase. Como as posições são fixadas em $ q = \pm Q $, a densidade em $ q $ será uma combinação de funções delta de Dirac nesses pontos.
Passo 4
As funções delta de Dirac $ \delta(q - Q) $ e $ \delta(q + Q) $ representam concentrações infinitas de densidade exatamente nas posições $ Q $ e $ -Q $, respectivamente. Assim, a densidade espacial será uma soma dessas duas funções, cada uma multiplicada por uma distribuição no momento $ p $.
Passo 5
Assumindo que, após o tempo de relaxação, a distribuição em $ p $ seja uniforme (o que significa que todas as velocidades são igualmente prováveis), podemos representar a densidade de fase como:
Aqui, o fator $ \frac{1}{2} $ garante que a densidade total seja normalizada, ou seja, que a probabilidade total seja 1.
Resposta
A densidade do espaço de fase para tempos maiores que o tempo de relaxação é dada por