Ar contido em uma configuração pistão-cilindro opera seguindo o ciclo de máquina térmica de Carnot, que consiste em dois processos isotérmicos reversíveis e dois processos adiabáticos reversíveis, recebendo calor de uma fonte quente a 1000 Ke rejeitando calor em uma fonte fria a 300 K . Durante o processo de adição de calor, o volume do sistema duplica.
Considerando que o ar se comporta como um gás ideal, determine:
a. Esboce o ciclo nos diagramas p-V e T-S, com indicação dos sentidos dos processos e a numeração dos estados (
e 4).
b. A quantidade específica de calor recebida pelo ar no processo de adição de calor,
.
c. A eficiência térmica do ciclo, em %.
d. A quantidade específica de calor rejeitada pelo ar no processo de rejeição de calor, em kJ/kg.
e. O trabalho específico realizado pelo ar no processo de expansão adiabática, em
.
Considerando que o ar se comporta como um gás ideal, determine:
a. Esboce o ciclo nos diagramas p-V e T-S, com indicação dos sentidos dos processos e a numeração dos estados (
b. A quantidade específica de calor recebida pelo ar no processo de adição de calor,
c. A eficiência térmica do ciclo, em %.
d. A quantidade específica de calor rejeitada pelo ar no processo de rejeição de calor, em kJ/kg.
e. O trabalho específico realizado pelo ar no processo de expansão adiabática, em
Passo 1
O enunciado dá um ciclo de Carnot operado por ar ideal com as seguintes informações que eu preciso listar bem claro:
- Fonte quente:
. - Fonte fria:
. - O ciclo é o de Carnot: dois processos isotérmicos reversíveis e dois adiabáticos reversíveis, na ordem usual
. - Durante o processo de adição de calor (isotérmico quente, que vamos chamar de
), o volume duplica: . - O ar se comporta como gás ideal. Para obter números, vou assumir os valores padrão para ar seco:
e . Se seu professor usar outros valores, os passos algébricos permanecem válidos; basta trocar os números.
Agora, as perguntas pedidas:
a. Esboçar o ciclo nos diagramase com sentidos e numeração dos estados .
b. Quantidade específica de calor recebida pelo ar no processo de adição de calor (kJ/kg).
c. Eficiência térmica do ciclo (em %).
d. Quantidade específica de calor rejeitada no processo de rejeição de calor (kJ/kg).
e. Trabalho específico realizado pelo ar no processo de expansão adiabática (kJ/kg).
Passo 2
Esboço mental e descrição dos diagramas (como desenhar na prova). Vou explicar o que desenhar e por quê, passo a passo — assim você consegue copiar direitinho no caderno na hora da prova.
p-V:
- Desenhe dois hiperbolóides (isotermas) — uma em pressão mais alta para
(curva mais acima) e outra em pressão mais baixa para . - Rotule o ponto
no ramo da isotérmica quente, depois uma seta à direita descrevendo isoterma quente (expansão isotérmica; o volume cresce; dado: ). - De
trace uma curva mais “íngreme” para baixo (expansão adiabática) até (a equação do adiabata é constante). - De
faça a isotérmica fria indo para a esquerda (compressão isotérmica, rejeita calor). - De
trace uma adiabática para cima e à esquerda de volta ao (compressão adiabática). - Indique as setas seguindo
. A área fechada é o trabalho líquido por ciclo.
T-S:
- No diagrama
, isoterma é uma linha horizontal (temperatura constante), adiabata reversível é linha vertical (isentropia constante). - Coloque
em uma temperatura alta . Trace horizontal a direita para (isoterma quente, entropia aumenta: porque o sistema absorve calor). A variação de entropia nesta etapa é . - De
desça verticalmente até (adiabática reversível: constante). A temperatura cai de para . - De
vá horizontal à esquerda em até (isoterma fria, entropia diminui: calor rejeitado). - De
suba verticalmente para por adiabática (isentropia constante). - Indique setas
. Importante: a largura horizontal entre e (ΔS) é a mesma que entre e , porque ciclo reversível tem ΔS =ΔS .
Passo 3
Cálculo da quantidade específica de calor recebida no processo isotérmico
(a pergunta b). Ensino a fórmula e o porquê:
- Para um gás ideal, a energia interna
depende só da temperatura. Num processo isotérmico para gás ideal, . Pela primeira lei da termodinâmica, , logo para processo isotérmico: todo calor recebido vira trabalho mecânico. - O trabalho em um processo isotérmico reversível é
onde:
-
é a constante específica do gás ( ), -
é a temperatura constante do processo (aqui ), -
são volumes específicos nos estados 1 e 2. - Como queremos a quantidade específica (por kg), tomamos
por unidade de massa:
- Usando o dado
e os valores assumidos e ,
- Calcule a constante:
Portanto
Arredondando com sensatez:
Passo 4
Cálculo da eficiência térmica do ciclo (pergunta c) e explicação conceitual:
- Para um ciclo de Carnot entre duas fontes a temperaturas
e , a eficiência máxima é
Por que isso vale? Em um ciclo reversível, as trocas de entropia satisfazem
. Daí
e
.
- Substituindo
e :
Passo 5
Cálculo do calor rejeitado
(pergunta d) e verificação com entropia:
- Como explicado, para ciclo de Carnot
. Então
- Usando
,
Arredondando:
Relembre também a interpretação em
: a variação de entropia no aquecimento é
E no resfriamento
, que dá o mesmo valor absoluto porque é reversível.
Passo 6
Cálculo do trabalho líquido por ciclo e checagem (conforto extra para você ter certeza):
- Trabalho líquido específico por ciclo:
- Numericamente:
Confirmação com eficiência:
. Está consistente.
Passo 7
Cálculo do trabalho específico realizado pelo ar durante a expansão adiabática reversível
(pergunta e) — explicação passo a passo:
- Em um processo adiabático reversível (isentrópico) temos
. Pela primeira lei, (sinais: positivo é trabalho feito pelo sistema). Para gás ideal, . - Portanto o trabalho realizado pelo gás na expansão
é
- No ciclo de Carnot, a adiabática liga a isotérmica quente à isotérmica fria, então
e . Assim
- Só falta calcular
. Para gás ideal:
Com
e
,
- Então
- Interpretação: durante a expansão adiabática o gás realiza
de trabalho. Isso é maior que o trabalho líquido porque há também compressões e iso-termias que fazem trabalho sobre o gás em outras etapas; o trabalho líquido do ciclo que vimos antes é só .
Passo 8
Resumo de checagens e observações finais (úteis na prova):
- ΔS durante aquecimento isotérmico:
- Observe a relação
é automática para Carnot e garante (ciclo reversível). - Anote no esboço que
(dado) e que isso implicou , uma fórmula simples e prática para aplicações em prova.
Resposta
a. p-V: isoterma quente
(expansão,
), adiabática
(expansão), isoterma fria
(compressão), adiabática
(compressão); setas
. \nT-S: isoterma horizontal
em
(ΔS positiva), adiabática vertical
(S constante), isoterma horizontal
em
(ΔS negativa), adiabática vertical
(S constante); setas
.
b. .
c. .
d. .
e. .
b.
c.
d.
e.