Ar contido em uma configuração pistão-cilindro opera seguindo o ciclo de máquina térmica de Carnot, que consiste em dois processos isotérmicos reversíveis e dois processos adiabáticos reversíveis, recebendo calor de uma fonte quente a 1000 Ke rejeitando calor em uma fonte fria a 300 K . Durante o processo de adição de calor, o volume do sistema duplica.
Considerando que o ar se comporta como um gás ideal, determine:
a. Esboce o ciclo nos diagramas p-V e T-S, com indicação dos sentidos dos processos e a numeração dos estados ( 1,2,3 e 4).
b. A quantidade específica de calor recebida pelo ar no processo de adição de calor, \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.
c. A eficiência térmica do ciclo, em %.
d. A quantidade específica de calor rejeitada pelo ar no processo de rejeição de calor, em kJ/kg.
e. O trabalho específico realizado pelo ar no processo de expansão adiabática, em \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo de Carnot operado por ar ideal com as seguintes informações que eu preciso listar bem claro:
  • Fonte quente: \,T_h=1000\\ \mathrm{K}.
  • Fonte fria: \,T_c=300\\ \mathrm{K}.
  • O ciclo é o de Carnot: dois processos isotérmicos reversíveis e dois adiabáticos reversíveis, na ordem usual 1\to2\to3\to4\to1.
  • Durante o processo de adição de calor (isotérmico quente, que vamos chamar de 1\to2), o volume duplica: \,V_2=2V_1.
  • O ar se comporta como gás ideal. Para obter números, vou assumir os valores padrão para ar seco: \,\gamma=1{,}4 e \,R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Se seu professor usar outros valores, os passos algébricos permanecem válidos; basta trocar os números.
    Agora, as perguntas pedidas:
    a. Esboçar o ciclo nos diagramas p\!-\!V e T\!-\!S com sentidos e numeração dos estados 1,2,3,4.
    b. Quantidade específica de calor recebida pelo ar no processo de adição de calor (kJ/kg).
    c. Eficiência térmica do ciclo (em %).
    d. Quantidade específica de calor rejeitada no processo de rejeição de calor (kJ/kg).
    e. Trabalho específico realizado pelo ar no processo de expansão adiabática (kJ/kg).

Passo 2

Esboço mental e descrição dos diagramas (como desenhar na prova). Vou explicar o que desenhar e por quê, passo a passo — assim você consegue copiar direitinho no caderno na hora da prova.
p-V:
  • Desenhe dois hiperbolóides (isotermas) — uma em pressão mais alta para T_h (curva mais acima) e outra em pressão mais baixa para T_c.
  • Rotule o ponto 1 no ramo da isotérmica quente, depois uma seta à direita descrevendo isoterma quente 1\to2 (expansão isotérmica; o volume cresce; dado: V_2=2V_1).
  • De 2 trace uma curva mais “íngreme” para baixo (expansão adiabática) até 3 (a equação do adiabata é pV^{\gamma}= constante).
  • De 3 faça a isotérmica fria 3\to4 indo para a esquerda (compressão isotérmica, rejeita calor).
  • De 4 trace uma adiabática para cima e à esquerda de volta ao 1 (compressão adiabática).
  • Indique as setas seguindo 1\to2\to3\to4\to1. A área fechada é o trabalho líquido por ciclo.
T-S:
  • No diagrama T\!-\!S, isoterma é uma linha horizontal (temperatura constante), adiabata reversível é linha vertical (isentropia constante).
  • Coloque 1 em uma temperatura alta \,T_h. Trace horizontal a direita para 2 (isoterma quente, entropia aumenta: S_2>S_1 porque o sistema absorve calor). A variação de entropia nesta etapa é \Delta S = q_{in}/T_h.
  • De 2 desça verticalmente até 3 (adiabática reversível: S constante). A temperatura cai de T_h para T_c.
  • De 3 vá horizontal à esquerda em T_c até 4 (isoterma fria, entropia diminui: calor rejeitado).
  • De 4 suba verticalmente para 1 por adiabática (isentropia constante).
  • Indique setas 1\to2\to3\to4\to1. Importante: a largura horizontal entre 1 e 2 (ΔS) é a mesma que entre 4 e 3, porque ciclo reversível tem ΔS _{in}=ΔS _{out}.

Passo 3

Cálculo da quantidade específica de calor recebida no processo isotérmico 1\to2 (a pergunta b). Ensino a fórmula e o porquê:
  • Para um gás ideal, a energia interna u depende só da temperatura. Num processo isotérmico para gás ideal, \Delta u=0. Pela primeira lei da termodinâmica, \Delta u = q - w, logo q = w para processo isotérmico: todo calor recebido vira trabalho mecânico.
  • O trabalho em um processo isotérmico reversível é
w = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{R\,T}{V}\,dV = R\,T\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),
onde:
  • \,R é a constante específica do gás ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • \,T é a temperatura constante do processo (aqui \,T=T_h),
  • \,V_1,V_2 são volumes específicos nos estados 1 e 2.
  • Como queremos a quantidade específica (por kg), tomamos q_{in}=w por unidade de massa:
q_{in} = R\,T_h\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Usando o dado \,V_2=2V_1 e os valores assumidos \,R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \,T_h=1000\\ \mathrm{K},
q_{in} = 0{,}287\cdot 1000\cdot \ln(2).
  • Calcule a constante:
\ln(2)\approx 0{,}693147.
Portanto
q_{in} \approx 0{,}287\cdot 1000\cdot 0{,}693147 \approx 198{,}99\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando com sensatez: \,q_{in}\approx 199{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Cálculo da eficiência térmica do ciclo (pergunta c) e explicação conceitual:
  • Para um ciclo de Carnot entre duas fontes a temperaturas \,T_h e \,T_c, a eficiência máxima é
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Por que isso vale? Em um ciclo reversível, as trocas de entropia satisfazem \Delta S = \dfrac{q_{in}}{T_h} = \dfrac{q_{out}}{T_c}. Daí \dfrac{q_{out}}{q_{in}}=\dfrac{T_c}{T_h} e \eta = 1 - q_{out}/q_{in}=1-T_c/T_h.
  • Substituindo \,T_h=1000\\ \mathrm{K} e \,T_c=300\\ \mathrm{K}:
\eta = 1 - \frac{300}{1000} = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 = 70\%.

Passo 5

Cálculo do calor rejeitado q_{out} (pergunta d) e verificação com entropia:
  • Como explicado, para ciclo de Carnot \,q_{out}/q_{in}=T_c/T_h. Então
q_{out} = q_{in}\,\frac{T_c}{T_h}.
  • Usando \,q_{in}\approx 198{,}99\\ \mathrm{kJ/kg},
q_{out} \approx 198{,}99\cdot\frac{300}{1000} = 198{,}99\cdot 0{,}3 \approx 59{,}697\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando: \,q_{out}\approx 59{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}.
Relembre também a interpretação em T\!-\!S: a variação de entropia no aquecimento é
\Delta S = \frac{q_{in}}{T_h} = \frac{198{,}99}{1000} \approx 0{,}19899\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
E no resfriamento \Delta S = -\dfrac{q_{out}}{T_c}, que dá o mesmo valor absoluto porque é reversível.

Passo 6

Cálculo do trabalho líquido por ciclo e checagem (conforto extra para você ter certeza):
  • Trabalho líquido específico por ciclo:
w_{net} = q_{in} - q_{out}.
  • Numericamente:
w_{net} \approx 198{,}99 - 59{,}697 \approx 139{,}293\\ \mathrm{kJ/kg}.
Confirmação com eficiência: w_{net} = \eta\,q_{in} = 0{,}7\cdot 198{,}99 \approx 139{,}29\\ \mathrm{kJ/kg}. Está consistente.

Passo 7

Cálculo do trabalho específico realizado pelo ar durante a expansão adiabática reversível 2\to3 (pergunta e) — explicação passo a passo:
  • Em um processo adiabático reversível (isentrópico) temos q=0. Pela primeira lei, \Delta u = -w (sinais: positivo w é trabalho feito pelo sistema). Para gás ideal, \Delta u = c_v (T_3 - T_2).
  • Portanto o trabalho realizado pelo gás na expansão 2\to3 é
w_{2\to3} = -\Delta u = c_v (T_2 - T_3).
  • No ciclo de Carnot, a adiabática liga a isotérmica quente à isotérmica fria, então T_2=T_h e T_3=T_c. Assim
w_{2\to3} = c_v (T_h - T_c).
  • Só falta calcular c_v. Para gás ideal:
c_v = \frac{R}{\gamma - 1}.
Com \,R=0{,}287 e \,\gamma=1{,}4,
c_v = \frac{0{,}287}{1{,}4 - 1} = \frac{0{,}287}{0{,}4} = 0{,}7175\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Então
w_{2\to3} = 0{,}7175\cdot(1000-300) = 0{,}7175\cdot 700 \approx 502{,}25\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Interpretação: durante a expansão adiabática o gás realiza \approx 502{,}25\\ \mathrm{kJ/kg} de trabalho. Isso é maior que o trabalho líquido porque há também compressões e iso-termias que fazem trabalho sobre o gás em outras etapas; o trabalho líquido do ciclo que vimos antes é só \approx 139{,}29\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Resumo de checagens e observações finais (úteis na prova):
  • ΔS durante aquecimento isotérmico:
\Delta S = \frac{q_{in}}{T_h} = \frac{198{,}99}{1000} \approx 0{,}19899\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Observe a relação q_{out}=q_{in}\,T_c/T_h é automática para Carnot e garante \Delta S_{in}+\Delta S_{out}=0 (ciclo reversível).
  • Anote no esboço que V_2=2V_1 (dado) e que isso implicou q_{in}=R T_h\ln 2, uma fórmula simples e prática para aplicações em prova.

Resposta

a. p-V: isoterma quente 1\to2 (expansão, V_2=2V_1), adiabática 2\to3 (expansão), isoterma fria 3\to4 (compressão), adiabática 4\to1 (compressão); setas 1\to2\to3\to4\to1. \nT-S: isoterma horizontal 1\to2 em T_h (ΔS positiva), adiabática vertical 2\to3 (S constante), isoterma horizontal 3\to4 em T_c (ΔS negativa), adiabática vertical 4\to1 (S constante); setas 1\to2\to3\to4\to1.
b. q_{in}\approx 199{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
c. \eta=1-\dfrac{T_c}{T_h}=1-\dfrac{300}{1000}=0{,}7=70\%.
d. q_{out}\approx 59{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}.
e. w_{2\to3}=c_v(T_h-T_c)\approx 502{,}25\\ \mathrm{kJ/kg}.

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