Ar é comprimido adiabaticamente do estado
bar e
, até o estado
bar e
. Então o ar é resfriado a volume constante até o estado
.
Liste as hipóteses necessárias para a solução do problema, fazendo a devida justificativa quando necessário. (1,0 ponto)
Determine o trabalho de compressão por unidade de massa durante o processo 1-2 e 2-3 (1,5 ponto)
Determine o calor rejeitado pelo sistema por unidade de massa durante o processo 2-3. (1,5 ponto)
व. Determine a pressão do estado final (estado 3 ). (1,0 ponto)
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede). Temos um quilograma de ar que passa pelos estados abaixo:
o gás é comprimido adiabaticamente até o estado 2 com
depois o gás é resfriado a volume constante até o estado 3 com
Perguntas:
- Liste as hipóteses necessárias (justifique).
- Determine o trabalho de compressão por unidade de massa durante o processo 1–2 e durante 2–3.
- Determine o calor rejeitado por unidade de massa durante 2–3.
- Determine a pressão no estado final (estado 3).
Dados úteis que usarei (valores padrão para ar e unidades consistentes): a constante do gás ideal para o ar
Passo 2
Hipóteses necessárias e justificativas (cada hipótese explicada de forma simples):
- Ar como gás ideal (perfeito): justificativa — os dados dados (
) são compatíveis com a equação e, em termodinâmica básica, ar comporta-se bem como gás ideal nas faixas de pressão e temperatura aqui consideradas. Isso permite usar para relacionar . - Processo 1–2 adiabático e quasi‑estático (reversível) — ou seja, adiabático e politrópico do tipo
const. Justificativa — o enunciado diz “comprimido adiabaticamente”; para poder relacionar os estados finais com uma expressão explícita e calcular o trabalho por integração, precisamos que o processo seja quasi‑estático (reversível). Se fosse adiabático irreversível não há forma única de relacionar e entre os estados. Portanto adotamos adiabático reversível (isentrópico se o gás ideal tiver constante) ou, mais genericamente, um processo adiabático poligonal com expoente constante. - Capacidades caloríficas constantes no intervalo de temperatura envolvido (portanto
constante). Justificativa — simplifica o cálculo de e de ; é usual em exercícios de graduação quando não se dá tabela de . - Sistema fechado, variações de energia cinética e potencial desprezíveis. Justificativa — solicita trabalho e calor por unidade de massa; assumimos sistema fechado (massa constante) e ignoramos energia cinética/potencial porque não foram dadas informações sobre velocidades/altitudes.
Com essas hipóteses podemos aplicar: equação dos gases perfeitos, relação politrópica
const (para 1–2) e as fórmulas usuais para trabalho e calor.
Passo 3
Calcular o volume específico no estado 1 (
) usando a equação dos gases ideais. Explicação do conceito: a equação dos gases perfeitos relaciona pressão, volume específico e temperatura por unidade de massa:
onde
é a pressão (em kPa),
o volume específico (m³/kg),
constante do gás (kJ/kg·K) e
a temperatura (K). Atenção às unidades: se
estiver em kPa,
em kJ/(kg·K) e
em m³/kg, então
tem unidades kJ/kg e é compatível com
.
Converto pressões para kPa:
Agora calculo
:
Passo 4
Determinar o expoente politrópico
do processo 1–2 a partir dos dados de
e
. Explicação: para um processo adiabático reversível (politrópico com expoente
constante) vale
Logo, entre os estados 1 e 2:
Tomando logaritmos, isolamos
:
Substituindo os números (uso
obtido no passo anterior e
dado):
Portanto usamos
(valor compacto e consistente com os dados).
Passo 5
Cálculo do trabalho por unidade de massa no processo 1–2. Primeiro explico a fórmula e a convenção de sinais. Trabalho realizado pelo sistema (sobre os arredores) ao longo de um processo é
Se o processo for politrópico
const, então
e
Usando
e reescrevendo de forma conveniente, uma forma prática é
Importante: este
é o trabalho realizado PELO sistema (work out). Se quisermos o trabalho de compressão (trabalho SOBRE o sistema), trocamos o sinal:
Agora substituo os valores (usando
em kPa e
em m³/kg, o produto
fica em kJ/kg):
Com
,
Interpretação: durante a compressão 1–2 foi fornecida ao gás, por unidade de massa, uma energia mecânica de aproximadamente
.
Passo 6
Cálculo da temperatura no estado 2 (
), que será útil para as partes seguintes. Usamos novamente a equação dos gases ideais:
Passo 7
Trabalho no processo 2–3 (resfriamento a volume constante). Explicação: em um processo isócrono (
constante) o trabalho de deslocamento de fronteira é
porque
. Assim, por unidade de massa,
Passo 8
Cálculo do calor rejeitado no processo 2–3. Uso da primeira lei para sistema fechado por unidade de massa:
onde
é a variação da energia interna específica,
calor específico transferido para o sistema (positivo se entra) e
trabalho realizado pelo sistema. Para 2–3,
(passo anterior), logo
Agora preciso de
. Com hipótese de capacidades constantes e usando a relação
isolo
:
Substituindo
e
,
Agora o calor:
Interpretação do sinal: o calor é negativo, ou seja, o sistema rejeita cerca de
por kg ao ambiente durante 2–3. (Note que a magnitude é praticamente igual ao trabalho de compressão, o que é consistente com a energia interna final igual à inicial, já que
.)
Passo 9
Cálculo da pressão no estado 3 (
). Como o processo 2–3 é a volume constante (
), podemos usar a lei dos gases em dois estados:
Substituindo números:
Convertendo para bar:
Resposta
Hipóteses: Ar como gás ideal; processo 1–2 adiabático e quasi‑estático (politrópico com
const); capacidades caloríficas constantes; sistema fechado e variações de energia cinética/potencial desprezíveis.
(trabalho de compressão, isto é, trabalho feito sobre o gás)
(ou seja,
rejeitado)