Uma corrente de ar saturado com vapor d’água a 80^{\circ} \mathrm{F} e 745 mm Hg passa por um compressor e é estocado a 25 psig e 80^{\circ} \mathrm{F}. Qual é a % de água que foi condensada neste processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dado: uma corrente de ar saturado com vapor d’água a 80^\circ\mathrm{F} e pressão total 745\\ \mathrm{mm\\ Hg}.
  • Dado: o fluido é comprimido e estocado a 25\\ \mathrm{psig} e temperatura 80^\circ\mathrm{F}.
  • Pedido: qual a % de água que foi condensada no processo?
Informações úteis que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Conversão pressão absoluta: p_{\text{abs}} = p_{\text{gauge}} + p_{\text{atm}}.
  • Ar saturado à 80^\circ\mathrm{F} significa que a pressão parcial do vapor d’água é igual à pressão de saturação p_{\text{sat}}(80^\circ\mathrm{F}).
  • Vamos calcular a razão de mistura (humidity ratio) W definida como massa de vapor por massa de ar seco:
W = 0{,}622\;\frac{p_v}{p_{\text{d}}},
onde p_v é a pressão parcial do vapor e p_{\text{d}} = p_{\text{tot}}-p_v é a pressão do ar seco.
  • A fração de água condensada será obtida comparando a massa de água inicial com a massa de água remanescente após a compressão (ou seja, comparação entre W_1 e W_2).

Passo 2

Primeira etapa prática: encontrar a pressão de saturação do vapor d’água a 80^\circ\mathrm{F} (que é a mesma temperatura inicial e final). Vou calcular p_{\text{sat}} usando a equação de Antoine (fórmula empírica para vapor d’água no intervalo de temperaturas úteis):
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \frac{B}{C + T_C}
com constantes (água, fórmula clássica):
A=8{,}07131,\quad B=1730{,}63,\quad C=233{,}426,
e T_C é a temperatura em °C. Primeiro converto 80^\circ\mathrm{F} para Celsius:
T_C=\frac{80-32}{1{,}8}=26{,}667\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora aplico Antoine:
\log_{10} p_{\text{mmHg}}=8{,}07131-\frac{1730{,}63}{233{,}426+26{,}667}=8{,}07131-\frac{1730{,}63}{260{,}093}=1{,}42067,
p_{\text{mmHg}}=10^{1{,}42067}=26{,}36\\ \mathrm{mm\\ Hg}.
Converto para psi (1 mm Hg =0{,}019336775\\ \mathrm{psi}):
p_{\text{sat}}(80^\circ\mathrm{F})=26{,}36\times0{,}019336775=0{,}5096\\ \mathrm{psia}.
Observação didática curta: essa pressão de saturação é muito menor que a pressão atmosférica; por isso um ar “saturado” contém pouca massa relativa de vapor.

Passo 3

Calcular pressões absolutas envolvidas.
Pressão total inicial (dada em \mathrm{mm\\ Hg}):
p_{t1}=745\\ \mathrm{mm\\ Hg} \times 0{,}019336775\\ \frac{\mathrm{psi}}{\mathrm{mm\\ Hg}}=14{,}403\\ \mathrm{psia}.
Como o ar está saturado a 80^\circ\mathrm{F}, a pressão parcial do vapor inicial é
p_{v1}=p_{\text{sat}}=0{,}5096\\ \mathrm{psia}.
Então a pressão do ar seco inicial é
p_{d1}=p_{t1}-p_{v1}=14{,}403-0{,}5096=13{,}8934\\ \mathrm{psia}.

Passo 4

Calcular a razão de mistura inicial W_1 (massa de vapor por massa de ar seco):
W_1=0{,}622\;\frac{p_{v1}}{p_{d1}}=0{,}622\;\frac{0{,}5096}{13{,}8934}.
Faço as contas passo a passo:
\frac{0{,}5096}{13{,}8934}=0{,}03668,
W_1=0{,}622\times0{,}03668=0{,}02281\quad(\text{lb vapor}/\text{lb ar seco}).
Explicação didática: o fator 0{,}622 é a razão das massas molares M_{\mathrm{H_2O}}/M_{\mathrm{ar\\ seco}}\approx 18/29.

Passo 5

Calcular a razão de mistura final W_2 no armazenamento a 25\\ \mathrm{psig} e 80^\circ\mathrm{F}.
Primeiro obtenho a pressão absoluta final:
p_{t2}=25\\ \mathrm{psig}+p_{\text{atm}}.
Aqui p_{\text{atm}}=p_{t1}=14{,}403\\ \mathrm{psia} (a pressão atmosférica usada acima). Logo
p_{t2}=25+14{,}403=39{,}403\\ \mathrm{psia}.
Importante explicar o comportamento do vapor ao comprimir isothermalmente:
  • Se não condensasse, a pressão parcial do vapor aumentaria proporcionalmente à pressão total (a fração molar se manteria igual).
  • Mas o vapor não pode ter pressão parcial maior que p_{\text{sat}}(80^\circ\mathrm{F}); acima disso o excesso condensa até que p_v=p_{\text{sat}} de novo (à mesma temperatura).
    Como inicialmente o ar já estava saturado, ao comprimir para uma pressão total maior haverá condensação suficiente para manter p_{v2}=p_{\text{sat}}(80^\circ\mathrm{F}).
Portanto
p_{v2}=p_{\text{sat}}=0{,}5096\\ \mathrm{psia},
p_{d2}=p_{t2}-p_{v2}=39{,}403-0{,}5096=38{,}8934\\ \mathrm{psia}.
Agora a razão de mistura final:
W_2=0{,}622\;\frac{p_{v2}}{p_{d2}}=0{,}622\;\frac{0{,}5096}{38{,}8934}.
Faço as contas:
\frac{0{,}5096}{38{,}8934}=0{,}01310,
W_2=0{,}622\times0{,}01310=0{,}00814\quad(\text{lb vapor}/\text{lb ar seco}).

Passo 6

Calcular a massa de água condensada por unidade de massa de ar seco e a % condensada (relativa à água inicial).
Massa condensada por lb de ar seco:
\Delta W = W_1-W_2=0{,}02281-0{,}00814=0{,}01467\\ \text{lb água}/\text{lb ar seco}.á
Fraçao da água inicial que condensou:
\text{fração}=\frac{\Delta W}{W_1}=\frac{0{,}01467}{0{,}02281}=0{,}6434.çã
Transformando em percentagem:
\text{\% condensada}=0{,}6434\times100\%=64{,}34\%.
Arredondando razoavelmente, a resposta é 64{,}3\%.

Passo 7

Resumo e interpretação curta (estudante amigo): o ponto chave é que o ar já estava saturado a 80^\circ\mathrm{F}. Ao comprimir isoterma para uma pressão muito maior, o vapor que excede o que pode permanecer gasoso àquela temperatura (ou seja, que faria a pressão parcial passar de p_{\text{sat}}) condensa. Calculamos as razões de mistura antes e depois usando a fórmula W=0{,}622\;p_v/(p-p_v) e daí obtivemos que cerca de dois terços da água inicial condensa — ou seja, aproximadamente 64{,}3\%.

Resposta

64{,}3\%

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