Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del correspondiente espacio vectorial \mathbf{V} indicado.
\mathbf{W}=\left\{\left[\begin{array}{cc}a+1 & b \\\\ 0 & a\end{array}\right] \operatorname{con} a, b \in \mathbf{R}\right\} en \mathbf{V}=\mathbf{R}^{2 \times 2}

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se o conjunto \mathbf{W} é um subespaço vetorial do espaço \mathbf{V}.
Informações dadas:
\mathbf{V}=\mathbf{R}^{2\times 2}
\mathbf{W}=\left\{\begin{pmatrix}a+1 & b\\[4pt] 0 & a\end{pmatrix}\;\text{com}\;a,b\in\mathbf{R}\right\}
Então a pergunta é única e clara: \mathbf{W} é subespaço de \mathbf{V} ou não?]

Passo 2

Recordando a definição (passo-a-passo didático): um subconjunto S de um espaço vetorial é subespaço vetorial se e somente se três propriedades simples forem satisfeitas:
  1. S não é vazio e contém o vetor zero (no nosso caso, a matriz zero).
  2. S é fechado sob adição: se u,v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbf{R} então \lambda u\in S.
Na prática, a checagem mais rápida é verificar se a matriz zero pertence a \mathbf{W}. Se a matriz zero não está em \mathbf{W}, então \mathbf{W} não pode ser subespaço e podemos parar aí. Vou fazer isso primeiro (é o caminho mais direto para a prova).

Passo 3

A matriz zero em \mathbf{V} é
0_{2\times2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Pergunta: existem a,b\in\mathbf{R} tais que
\begin{pmatrix}a+1 & b\\[4pt]0 & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} ?
Isso dá um sistema de equações comparando entradas correspondentes:
a+1=0,\qquad b=0,\qquad a=0.]

Passo 4

Analise dessas equações: da segunda temos \,b=0. Das primeiras e terceiras temos simultaneamente
a+1=0\quad\Rightarrow\quad a=-1,
e
a=0.
Isso é uma contradição: não existe a que seja ao mesmo tempo -1 e 0. Portanto não existem a,b que produzam a matriz zero. Conclusão direta: a matriz zero não pertence a \mathbf{W}.

Passo 5

Como a matriz zero não está em \mathbf{W}, a propriedade (1) falha e, por consequência, \mathbf{W} não é subespaço vetorial de \mathbf{V}. (Não é necessário verificar fechamento por soma ou por escalares depois disso.)
Para intuir melhor a razão: podemos escrever uma matriz genérica de \mathbf{W} como soma
\begin{pmatrix}a+1 & b\\[4pt]0 & a\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}}_{M_0} + \underbrace{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a\end{pmatrix}}_{a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}.
Assim \mathbf{W}=M_0+\operatorname{span}\{I,\;E_{12}\}, ou seja, \mathbf{W} é uma translação (um afin) do subespaço gerado por I e E_{12}. Como M_0\neq 0_{2\times2} e M_0 não pertence a \operatorname{span}\{I,E_{12}\} (porque resolver xI+yE_{12}=M_0 leva a contradição nas entradas diagonal), essa translação não é um subespaço linear, confirmando a conclusão anterior.]

Passo 6

Resumo curto e motivador: descobrimos um teste simples que falha (ausência do vetor zero), então \mathbf{W} não é subespaço. Tá tudo bem — muitas famílias de matrizes assim são apenas subconjuntos afins, não subespaços.

Resposta

Não, \mathbf{W} não é subespaço vetorial de \mathbf{V}.

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