A decomposição de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})}+1 / 2 \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}
É uma reação de primeira ordem. A determinada temperatura, a constante de velocidade é igual a 7,0 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1}. Calcule a meia-vida a essa temperatura.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a meia-vida da reação
\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}\longrightarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)}+\tfrac{1}{2}\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})},
sabendo que é uma reação de primeira ordem e que, à temperatura dada, a constante de velocidade vale k=7,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
k=7,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
A pergunta é: qual é a meia-vida a essa temperatura?

Passo 2

O que é meia-vida? A meia-vida, denotada por t_{1/2}, é o tempo necessário para que a concentração do reagente caia para metade do seu valor inicial. Em símbolos, se a concentração inicial for [A]_0, então na meia-vida temos [A]=\tfrac{1}{2}[A]_0.

Passo 3

Para uma reação de primeira ordem a lei diferencial da velocidade é
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração do reagente no instante t e k é a constante de velocidade (com unidades de \mathrm{s}^{-1} para primeira ordem). Vou resolver essa equação diferencial para obter a forma integrada que relaciona [A], [A]_0, k e t.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de t=0 (quando [A]=[A]_0) até tempo t (quando [A]=[A]):
\int_{[A]_0}^{[A]}\frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln\bigl([A]\bigr)-\ln\bigl([A]_0\bigr) e a do lado direito é -kt. Assim obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]}{[A]_0}\right) = -kt.

Passo 5

Agora aplicamos a condição de meia-vida, isto é [A]=\tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo na equação integrada:
\ln\!\left(\frac{\tfrac{1}{2}[A]_0}{[A]_0}\right) = -kt_{1/2}.
Simplificando o argumento do logaritmo:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -kt_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, isso dá
-\ln 2 = -kt_{1/2}\quad\Longrightarrow\quad t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aproximadamente 0,693147) e k é a constante de velocidade.

Passo 6

Substituímos o valor numérico de k:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{7,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}}.
Usando \ln 2\approx0,693147,
t_{1/2}\approx\frac{0,693147}{7,0\times10^{-4}}\\ \mathrm{s}\approx 990,21\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos dividindo por 60:
990,21\\ \mathrm{s}\div 60 \approx 16,50\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma coerente com os algarismos significativos da constante dada (dois algarismos significativos em 7,0\times10^{-4}), podemos reportar t_{1/2}\approx9,9\times10^{2}\\ \mathrm{s} ou t_{1/2}\approx16,5\\ \mathrm{min}.

Resposta

t_{1/2}\approx9,90\times10^{2}\\ \mathrm{s} (aprox. 16,5\\ \mathrm{min}).

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