Deduza a equação de van der Waals em coordenadas reduzidas a partir da equação de van der Waals, substituindo os parâmetros a, b e R pelas respectivas expressões em função das coordenadas críticas.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado pede para a gente começar da equação de van der Waals
l(P + aVm^2r),(Vm - b) = R,T
e, substituindo a,;b,;R pelas fórmulas que vêm dos pontos críticos ( Pc,;Vc,;Tc), chegar à forma “reduzida”
l(Pr + tfrac3Vr^2r),(3Vr - 1) = 8,Tr,
Conteúdo: equações de estado em Termodinâmica. Vamos precisar das condições de ponto crítico (inflection point) e da definição de variáveis reduzidas
Pr = PPc, Vr = VmVc, Tr = TTc

Passo 2

Primeiro, recorda a van der Waals em função do volume molar P = R,TVm - b ;-; aVm^2, :

Aqui
- é a pressão,
- a temperatura,
- a constante dos gases,
- corrige atrações intermoleculares,
- corrige volume ocupado pelas moléculas.

Passo 3

Nos pontos críticos partial Ppartial Vm = -R,T(Vm - b)^2 + 2aVm^3 ;=;0, a isoterma tem ponto de inflexão:
  1. partial^2 Ppartial Vm^2 = 2R,T(Vm - b)^3 - 6aVm^4 ;=;0 ,
  2. Pc = a27,b^2 .
    Fazendo as derivadas:
Em . Dessas duas equações, tira-se:
  • ,
  • .
    Substituindo de novo na eq. de estado em , acha-se

Passo 4

Agora invertemos para escrever em função de :
  1. .

Passo 5

Definimos as variáveis reduzidas:
Pr = PPc, Vr = VmVc, Tr = TTc

Passo 6

Substitui tudo na equação original
(P + tfracaVm^2)(Vm - b) = R,T
Cada termo vira:
  • l[Pc(Pr+tfrac3Vr^2)r], l[Vc,tfrac3Vr-13r] = PcVc3,(Pr+tfrac3Vr^2)(3Vr-1), .
Logo o lado esquerdo é
que iguala a

Cancelando dos dois lados, sobra

Resposta

boxed l(Pr + tfrac3Vr^2r),(3Vr - 1) ;=; 8,Tr

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