Deduza as seguintes expressões, assumindo misturas com apenas dois componentes quando necessário:
(b) d G=muA d nA+muB d nB, com p e T const. Rightarrow G=muA nA+muB nB, mui=(partial Gpartial ni)p, T, n^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Termodinâmica que pede para deduzir umas expressões envolvendo a energia livre de Gibbs ( G) para misturas com dois componentes, A e B. A ideia é mostrar como G se relaciona com as potenciais químicas ( muA e muB) e as quantidades de cada componente ( nA e nB) quando a pressão ( p) e a temperatura ( T) estão constantes. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a definição de potencial químico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia livre de Gibbs ( G). Ela é uma função termodinâmica que nos ajuda a entender o comportamento de sistemas em equilíbrio a pressão e temperatura constantes. A variação de G ( dG) pode ser expressa em termos das variações das quantidades de cada componente na mistura.

Passo 3

A equação que relaciona a variação de G com as variações das quantidades de A e B é:
dG = muA dnA + muB dnB
Aqui, muA e muB são as potenciais químicas de A e B, respectivamente. As potenciais químicas representam a energia livre por mol de cada componente e indicam como a energia do sistema muda quando adicionamos mais um mol de um componente, mantendo pressão e temperatura constantes.

Passo 4

Para encontrar G em termos de muA, muB, nA e nB, vamos integrar a equação diferencial que temos. Como muA e muB são constantes (já que p e T são constantes e estamos assumindo que as potenciais químicas não variam com nA e nB nesse contexto), a integração fica direta.

Passo 5

Integrando a equação diferencial:
integral dG = integral muA dnA + integral muB dnB
Isso resulta em:
G = muA nA + muB nB + C
Onde C é a constante de integração. Porém, se considerarmos que quando nA = nB = 0, G = 0, então C = 0. Portanto:
G = muA nA + muB nB

Passo 6

Agora, para mostrar que a potencial química mui é a derivada parcial de G em relação a ni, mantendo p, T e as outras quantidades constantes, vamos calcular essa derivada a partir da expressão de G que acabamos de obter.
Tomando a derivada parcial de G em relação a nA:
muA = ( partial Gpartial nA )p, T, nB
E similarmente para nB:
muB = ( partial Gpartial nB )p, T, nA
Isso confirma que as potenciais químicas são realmente as derivadas parciais da energia livre de Gibbs em relação às quantidades dos componentes, mantendo pressão, temperatura e as demais quantidades constantes.

Resposta

Portanto, deduzimos que a energia livre de Gibbs para uma mistura com dois componentes é dada por:
G = muA nA + muB nB
E as potenciais químicas são definidas como:
mui = ( partial Gpartial ni )p, T, n^prime

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