Deduza as seguintes expressões, assumindo misturas com apenas dois componentes quando necessário:
(b)
, com
e
const.
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Termodinâmica que pede para deduzir umas expressões envolvendo a energia livre de Gibbs (
) para misturas com dois componentes, A e B. A ideia é mostrar como
se relaciona com as potenciais químicas (
e
) e as quantidades de cada componente (
e
) quando a pressão (
) e a temperatura (
) estão constantes. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a definição de potencial químico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia livre de Gibbs (
). Ela é uma função termodinâmica que nos ajuda a entender o comportamento de sistemas em equilíbrio a pressão e temperatura constantes. A variação de
(
) pode ser expressa em termos das variações das quantidades de cada componente na mistura.
Passo 3
A equação que relaciona a variação de
com as variações das quantidades de A e B é:
Aqui,
e
são as potenciais químicas de A e B, respectivamente. As potenciais químicas representam a energia livre por mol de cada componente e indicam como a energia do sistema muda quando adicionamos mais um mol de um componente, mantendo pressão e temperatura constantes.
Passo 4
Para encontrar
em termos de
,
,
e
, vamos integrar a equação diferencial que temos. Como
e
são constantes (já que
e
são constantes e estamos assumindo que as potenciais químicas não variam com
e
nesse contexto), a integração fica direta.
Passo 5
Integrando a equação diferencial:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Porém, se considerarmos que quando
,
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora, para mostrar que a potencial química
é a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
,
e as outras quantidades constantes, vamos calcular essa derivada a partir da expressão de
que acabamos de obter.
Tomando a derivada parcial de
em relação a
:
E similarmente para
:
Isso confirma que as potenciais químicas são realmente as derivadas parciais da energia livre de Gibbs em relação às quantidades dos componentes, mantendo pressão, temperatura e as demais quantidades constantes.
Resposta
Portanto, deduzimos que a energia livre de Gibbs para uma mistura com dois componentes é dada por:
E as potenciais químicas são definidas como: