Como é definida a entropia no ensemble microcanônico?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a entropia no ensemble microcanônico, ou seja, num sistema isolado com energia fixa E, volume V e número de partículas N. O conteúdo aqui é estatística clássica (ou quântica) e usamos a noção de multiplicidade de microestados compatíveis com esses valores macroscópicos.

Passo 2

Definimos primeiro a multiplicidade de estados \Omega(E,V,N) como o número (ou densidade) de microestados quânticos cujo valor da energia seja exatamente E (ou esteja num intervalo infinitesimal em torno de E). Em sistemas clássicos, essa quantidade se expressa por um integral sobre o espaço de fase:
\Omega(E,V,N)=\frac{1}{h^{3N}N!} \int \delta\bigl(E-H(p,q)\bigr)\,\mathrm{d}^{3N}p\,\mathrm{d}^{3N}q

Passo 3

A partir dessa multiplicidade, a entropia estatística é dada pela fórmula de Boltzmann, que associa um logaritmo ao número de microestados:
S(E,V,N)=k_{B}\,\ln \Omega(E,V,N)
onde k_{B} é a constante de Boltzmann.

Passo 4

Em muitos livros aparece também a densidade de estados \omega(E,V,N), que conta microestados num intervalo de energia [E,E+\mathrm{d}E]. Nesse caso define-se
S(E,V,N)=k_{B}\,\ln \omega(E,V,N)
mas a ideia é a mesma: entropia é proporcional ao logaritmo do número de microestados disponíveis.

Resposta

A entropia no ensemble microcanônico é
S(E,V,N)=k_{B}\,\ln \Omega(E,V,N),
onde \Omega(E,V,N) é a multiplicidade de microestados com energia E.

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