Como é a dependência da energia mecânica de um sistema oscilatório com a amplitude do movimento?

Passo 1

O enunciado pergunta como a energia mecânica de um sistema que executa movimento oscilatório simples depende da amplitude desse movimento. O conteúdo é Energia em Oscilador Harmônico Simples (OHS) e vamos usar a conservação da energia e a forma da energia potencial/restauradora.

Passo 2

Num oscilador harmônico simples, a energia mecânica total E é constante e é soma da energia cinética K e da energia potencial U:
E = K + U
No ponto de retorno (amplitude), a velocidade é zero, logo K=0 e toda energia é potencial.

Passo 3

A energia potencial elástica num OHS é
U = tfrac12,k,x^2,
onde k é a constante elástica e x o deslocamento. No ponto de amplitude x=A, temos
E = U(A) = tfrac12,k,A^2
Como a frequência angular é omega = raizk/m, podemos também escrever
E = tfrac12,m,omega^2,A^2

Passo 4

Concluímos que a energia mecânica total do oscilador cresce com o quadrado da amplitude. Em outras palavras, se duplicarmos a amplitude, a energia quadruplica.

Resposta

A energia mecânica depende da amplitude segundo
E = tfrac12,k,A^2 ou E = tfrac12,m,omega^2,A^2,
isto é, Epropto A^2.

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