Um tubo de aço cujos diâmetros \frac{d_{i}}{d_{e}}=\frac{100 \mathrm{~mm}}{110 \mathrm{~mm}}, cujo k=40 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}}, conduz vapor d’água na pressão de 10 ata e 250^{\circ} \mathrm{C}\left(h_{\text {vapor }}=20000 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}}\right), está forrado com duas camadas de isolante térmico, cada uma delas possuindo 50 mm de espessura. A temperatura da superfície externa do isolamento é 50^{\circ} \mathrm{C}. A primeira camada de isolante colocada sobre a superfície do tubo tem k_{A}=0,052 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}} e a segunda camada tem k_{B}=0,103 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{hm} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}}.

Pede-se:

a) As perdas de calor para cada metro de tubo;
b) A temperatura na superfície de contato entre as camadas de isolante;
c) Se a temperatura do ambiente for de 25^{\circ} \mathrm{C}, qual o coeficiente de película do ar externo à tubulação?
d) Para que a temperatura da superfície externa do isolamento seja 40^{\circ} \mathrm{C}, considerando uma taxa de transferência de calor de 80 \frac{k c a l}{h}, para cada metro linear, qual deverá ser a espessura da camada do isolante “A”.

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos pelo enunciado e o que se pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Diâmetros do tubo: \dfrac{d_i}{d_e}=\dfrac{100\\ \text{mm}}{110\\ \text{mm}}.
    Portanto o raio interno do tubo é \,r_{i}=\dfrac{d_i}{2}=0,05\\ \mathrm{m} e o raio externo do tubo é \,r_{t}=\dfrac{d_e}{2}=0,055\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do aço do tubo: k_{\text{aço}}=40\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}ç.
  • Coeficiente de película no interior (vapor): h_{\text{vapor}}=20000\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}.
  • Temperatura do vapor: T_{\text{vapor}}=250^\circ\text{C}.
  • Sobre o tubo há duas camadas de isolante, cada uma com espessura 50\\ \text{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
    • Camada A (adjacente ao tubo): k_A=0,052\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
    • Camada B (externa): k_B=0,103\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
  • Temperatura da superfície externa do isolamento (situação inicial): T_{s,\text{ext}}=50^\circ\text{C}.
  • Ambiente para a parte (c) e (d): T_{\infty}=25^\circ\text{C} (informado na parte (c)).
O que se pede:
a) Perdas de calor por metro de tubo (isto é Q em \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot \text{m}}).
b) Temperatura na superfície de contato entre as camadas de isolante (interface A/B).
c) Com T_{\infty}=25^\circ\text{C}, determinar o coeficiente de película do ar externo à tubulação h_{\text{ext}}.
d) Para que a temperatura da superfície externa do isolamento seja 40^\circ\text{C}, considerando uma taxa de transferência de calor Q=80\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}} por metro, qual deve ser a espessura da camada do isolante A? (manter o restante dos dados, em particular a camada B com 0,05\\ \mathrm{m}).

Passo 2

A estratégia para (a) — cálculo das perdas por metro — é usar o circuito térmico em série que vai do vapor até a superfície externa do isolamento. As resistências térmicas relevantes (por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m}) são:
  • resistência convectiva interna (vapor → parede interna do tubo):
R_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{h_{\text{vapor}}A_i}, \qquad A_i=2\pi r_i L.
  • resistência por condução cilíndrica através da parede do tubo:
R_{\text{tubo}}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_t}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{aço}} L}.ç
  • resistência por condução na camada A (cilíndrica):
R_A=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{A,out}}{r_t}\right)}{2\pi k_A L}, \qquad r_{A,out}=r_t+0,05.
  • resistência por condução na camada B (cilíndrica):
R_B=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{B,out}}{r_{A,out}}\right)}{2\pi k_B L}, \qquad r_{B,out}=r_{A,out}+0,05.
A resistência total do vapor até a superfície externa do isolamento é
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,i}}+R_{\text{tubo}}+R_A+R_B.
A perda por metro é então
Q=\dfrac{T_{\text{vapor}}-T_{s,\text{ext}}}{R_{\text{tot}}}.
Agora calculamos numericamente (todos os cálculos referem-se a L=1\\ \mathrm{m}).
  1. Geometrias e áreas:
r_i=0,05\\ \mathrm{m},\qquad r_t=0,055\\ \mathrm{m},
r_{A,out}=0,055+0,05=0,105\\ \mathrm{m},\qquad r_{B,out}=0,105+0,05=0,155\\ \mathrm{m},
A_i=2\pi r_i =2\pi(0,05)=0,314159\\ \mathrm{m}^2.
  1. Resistências:
R_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{20000\cdot 0,314159}=0,0001591549\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
R_{\text{tubo}}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0,055}{0,05}\right)}{2\pi\cdot 40}=0,0003793910\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
R_A=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0,105}{0,055}\right)}{2\pi\cdot 0,052}=1,97931219\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
R_B=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0,155}{0,105}\right)}{2\pi\cdot 0,103}=0,601704\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
  1. Resistência total:
R_{\text{tot}}=0,000159155+0,000379391+1,97931219+0,601704\approx 2,5815547\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
  1. Perda de calor por metro:
Q=\dfrac{T_{\text{vapor}}-T_{s,\text{ext}}}{R_{\text{tot}}} =\dfrac{250-50}{2,5815547} =\dfrac{200}{2,5815547}\approx 77,49\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}.
Comentário didático curto: para problemas em cascas cilíndricas a resistência por condução usa \ln(r_2/r_1)/(2\pi k L) porque a área que transporta calor varia com o raio; já para convecção plana usamos 1/(hA). Aqui a maior resistência é do isolante A, por isso ele domina a perda térmica.

Passo 3

Agora calculamos a temperatura na superfície de contato entre as camadas A e B (a interface A/B). A temperatura nessa superfície está a uma queda de temperatura igual a Q vezes a resistência acumulada desde o vapor até essa interface.
A resistência acumulada até a interface A/B é
R_{\text{até\,A/B}}=R_{\text{conv,i}}+R_{\text{tubo}}+R_A.é
Numericamente:
R_{\text{até\,A/B}}=0,000159155+0,000379391+1,97931219\approx 1,9798507\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.é
A queda de temperatura do vapor até a interface é
\Delta T = Q\cdot R_{\text{até\,A/B}} \approx 77,49\cdot 1,9798507\approx 153,27^\circ\text{C}.é
Logo a temperatura na interface A/B é
T_{A/B}=T_{\text{vapor}}-\Delta T =250-153,27\approx 96,73^\circ\text{C}.
Didática: calcular temperaturas em séries de resistências é análogo a somar quedas de tensão num circuito elétrico – a corrente (aqui Q) é a mesma em todas as resistências, e a queda em cada resistência é Q\cdot R.

Passo 4

Parte (c): determinar o coeficiente de película externo h_{\text{ext}} quando o ambiente está a 25^\circ\text{C}, sabendo que a superfície externa do isolamento está a 50^\circ\text{C} e que a perda por metro é o Q calculado no passo 2.
A equação de convecção externa é
Q = h_{\text{ext}}\,A_{\text{ext}}\,(T_{s,\text{ext}}-T_{\infty}), \qquad A_{\text{ext}}=2\pi r_{B,out}L.
Calculemos A_{\text{ext}}:
A_{\text{ext}}=2\pi\cdot 0,155=0,973389\\ \mathrm{m}^2.
Isolando h_{\text{ext}}:
h_{\text{ext}}=\dfrac{Q}{A_{\text{ext}}(T_{s,\text{ext}}-T_{\infty})} =\dfrac{77,49}{0,973389\cdot (50-25)} =\dfrac{77,49}{0,973389\cdot 25} \approx 3,185\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}.
Breve comentário: este valor é razoável para convecção natural/forçada em ar; unidades aqui mantidas em kcal/h m^2 °C conforme dados do enunciado.

Passo 5

Parte (d): agora queremos que a superfície externa do isolamento seja T_{s,\text{ext}}=40^\circ\text{C} sob as seguintes condições:
  • taxa de transferência de calor por metro dada: Q_{\text{dado}}=80\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}} (por metro),
  • manter camadas: tubo com dimensões originais, camada B com espessura 0,05\\ \mathrm{m} e k_B conhecidos,
  • determinar a espessura da camada A (chamar de t_A) necessária.
Observação: usa-se o mesmo coeficiente de película externo obtido em (c) (isto é, assumir mesmas condições de fluido externo e ambiente T_{\infty}=25^\circ\text{C}), isto porque o enunciado pediu antes para achá-lo e não fornece outro valor.
Método: o circuito térmico do vapor até o ambiente inclui a nova convecção externa; mas aqui a superfície externa é fixada em 40^\circ\text{C} e Q é dado. A relação direta entre vapor e superfície externa é
Q=\dfrac{T_{\text{vapor}}-T_{s,\text{ext}}}{R_{\text{conv,i}}+R_{\text{tubo}}+R_A(t_A)+R_B(t_A)}.
Note que R_A e R_B dependem de t_A por meio dos raios:
r_{A,out}=r_t+t_A,\qquad r_{B,out}=r_{A,out}+0,05.
Vamos montar a equação e resolvê-la numericamente para t_A.
Passos numéricos:
  1. Primeiro montamos o valor alvo da resistência total necessária:
R_{\text{tot,req}}=\dfrac{T_{\text{vapor}}-T_{s,\text{ext}}}{Q_{\text{dado}}} =\dfrac{250-40}{80}=\dfrac{210}{80}=2,625\\ \dfrac{^\circ\text{C}\,\text{h}}{\text{kcal}}.
  1. Já conhecemos R_{\text{conv,i}}+R_{\text{tubo}}=0,000159155+0,000379391\approx 0,000538546. Portanto a soma das resistências das camadas A e B deve ser
R_A(t_A)+R_B(t_A)=R_{\text{tot,req}}-(R_{\text{conv,i}}+R_{\text{tubo}}) \approx 2,62446145.
  1. Escrevendo explicitamente:
\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_t+t_A}{r_t}\right)}{2\pi k_A} +\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_t+t_A+0,05}{r_t+t_A}\right)}{2\pi k_B} =2,62446145.
  1. Esta equação não tem solução analítica simples; resolve-se numericamente. Testando valores próximos da espessura inicial t_A=0,05\\ \mathrm{m} e interpolando (procedimento prático numa prova: testar alguns valores e ajustar), encontra-se:
  • Para t_A=0,05\\ \mathrm{m} (caso inicial) obtém-se R_A+R_B\approx 2,58155-0,000538546=2,581016 (um pouco menor que 2,62446).
  • Aumentando t_A até cerca de 0,0517\\ \mathrm{m} a soma R_A+R_B atinge o valor requerido.
Resultado numérico obtido por interpolação/iteração:
t_A\approx 0,0517\\ \mathrm{m}=51,7\\ \text{mm}.
Interpretação e dica prática: a espessura necessária cresce pouco em relação à original 50\\ \text{mm} porque as mudanças solicitadas (reduzir a temperatura externa para 40^\circ\text{C} e aceitar Q=80\\ \text{kcal/h}) são moderadas; na prova, a forma prática é montar a equação da resistência total e resolver por tentativa/linearização se não tiver calculadora algébrica.

Resposta

a) Q\approx 77,49\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}\n
b) T_{A/B}\approx 96,73^\circ\text{C}\n
c) h_{\text{ext}}\approx 3,185\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}\n
d) t_A\approx 0,0517\\ \mathrm{m}\quad(51,7\\ \text{mm})

Exercícios relacionados