Um forno de formato cúbico, com altura de 6 ft , está isolado com 4^{\prime \prime} de um material isolante ( k_{T}=1,00 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}} ). Nele são inseridos 1500 \mathrm{lb} / 1,5 \mathrm{~h} de uma liga metálica, que se funde a 1100^{\circ} \mathrm{F}, conhecendo-se o calor latente de fusão da liga, 300 \mathrm{BTU} / \mathrm{lb}, o coeficiente de convecção externo, 2 \frac{B T U}{h f t^{2} \mathrm{~F}}, e a temperatura do ar externo 77^{\circ} \mathrm{F}, pede-se:
a) A taxa de transferência de calor pelas 6 faces do forno;
b) Quantos kW são necessários para fundir a liga e compensar as perdas?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dimensões do forno: é um cubo com aresta 6\\ \mathrm{ft}.
  • Espessura do isolamento: 4'' (quatro polegadas).
  • Condutividade térmica do isolante: k_{T}=1{,}00\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft\\ ^\circ F}}.
  • Coeficiente de convecção externo: h=2\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}.
  • Temperatura interna (temperatura de fusão da liga): T_i=1100^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura do ar externo: T_\infty=77^\circ\mathrm{F}.
  • Massa a ser fundida: m=1500\\ \mathrm{lb} a ser inserida durante \Delta t=1{,}5\\ \mathrm{h}. (ou seja, pretende-se fundir esses 1500\\ \mathrm{lb} em 1{,}5\\ \mathrm{h}).
  • Calor latente de fusão da liga: L_f=300\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lb}}.
O enunciado pede:
a) A taxa de transferência de calor pelas 6 faces do forno (ou seja, perda térmica em regime estacionário): \dot{Q}_{\text{perda}} (unidade BTU/h).
b) Quantos kW são necessários para fundir a liga e compensar as perdas (potência total necessária em kW).

Passo 2

Plano físico e fórmulas que vamos usar — explicação didática.
Explicação qualitativa: o calor sai do interior quente do forno (a 1100^\circ\mathrm{F}) atravessa o isolamento por condução e depois é transferido ao ar ambiente por convecção na superfície externa. Essas duas resistências (condução através do isolante e convecção na superfície) estão em série para cada unidade de área. Portanto a perda de calor por unidade de área é dada pela diferença de temperatura dividida pela soma das resistências térmicas.
Fórmulas e definições (passo a passo):
  • Espessura do isolante: denotar por L (em ft). Para condução unidimensional através de uma placa plana homogênea com condutividade k, a resistência térmica por unidade de área é
R_{\text{cond}}=\dfrac{L}{k}.
Aqui L tem unidade ft, k tem unidade \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft\\ ^\circ F}}, resultando em R_{\text{cond}} com unidade \dfrac{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}{\mathrm{BTU}} (resistência por unidade de área).
  • Resistência por convecção na superfície externa (por unidade de área) é
R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h},
onde h tem unidade \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}.
  • Soma das resistências por unidade de área:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.
  • Fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) é então a diferença de temperatura dividida por R_{\text{tot}}:
\dot{q}''=\dfrac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
Unidade de \dot{q}'' será \mathrm{BTU/(h\\ ft^{2})}.
  • A perda total pelo forno é essa densidade de fluxo multiplicada pela área total do forno A:
\dot{Q}_{\text{perda}}=\dot{q}''\cdot A.
  • Área total para o cubo de aresta a é
A=6a^{2}.
Conversão de energia para potência necessária para fusão:
  • Energia necessária para fundir a massa m: Q_{\text{fus}}=m\,L_f (unidade BTU).
  • Se deseja fundir em \Delta t horas, potência média necessária apenas para fusão é
\dot{Q}_{\text{fus}}=\dfrac{Q_{\text{fus}}}{\Delta t}=\dfrac{m\,L_f}{\Delta t}\quad(\mathrm{BTU/h}).
  • Potência total requerida (em BTU/h) = perdas + potência de fusão:
\dot{Q}_{\text{tot}}=\dot{Q}_{\text{perda}}+\dot{Q}_{\text{fus}}.
  • Conversão para kW: usar fator
1\\ \mathrm{BTU/h}=0{,}00029307107\\ \mathrm{kW}.
(ou 1\\ \mathrm{kW}=3412{,}142\\ \mathrm{BTU/h}). Vou usar 1\\ \mathrm{BTU/h}=0{,}00029307107\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas com os números — cálculo da perda por condução+convecção.
  1. Converter espessura do isolante:
L=4''=\dfrac{4}{12}\\ \mathrm{ft}=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{ft}\approx0{,}3333\\ \mathrm{ft}.
  1. Área total do cubo (aresta a=6\\ \mathrm{ft}):
A=6a^{2}=6\cdot(6\\ \mathrm{ft})^{2}=6\cdot36\\ \mathrm{ft^{2}}=216\\ \mathrm{ft^{2}}.
  1. Resistência por condução por unidade de área:
R_{\text{cond}}=\dfrac{L}{k}=\dfrac{\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{ft}}{1{,}00\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft\\ ^\circ F}}}=0{,}3333\\ \dfrac{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}{\mathrm{BTU}}.
  1. Resistência por convecção por unidade de área:
R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{2\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}}=0{,}5\\ \dfrac{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}{\mathrm{BTU}}.
  1. Resistência total por unidade de área:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}=0{,}3333+0{,}5=0{,}8333\\ \dfrac{\mathrm{h\\ ft^{2}\\ ^\circ F}}{\mathrm{BTU}}.
  1. Diferença de temperatura:
\Delta T=T_i-T_\infty=1100-77=1023\\ ^\circ\mathrm{F}.
  1. Fluxo de calor por unidade de área:
\dot{q}''=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\dfrac{1023}{0{,}8333}\\ \approx1023\cdot1{,}2=1227{,}6\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\\ ft^{2}}}.
(Observação: 1/(0{,}8333)\approx1{,}2.)
  1. Potência total de perda pelas 6 faces:
\dot{Q}_{\text{perda}}=\dot{q}''\cdot A=1227{,}6\cdot216\\ \mathrm{BTU/h}=265\,161{,}6\\ \mathrm{BTU/h}.
Arredondando razoavelmente: \dot{Q}_{\text{perda}}\approx2{,}65\times10^{5}\\ \mathrm{BTU/h}.

Passo 4

Energia necessária para fundir a liga e potência média de fusão.
  1. Energia total de fusão:
Q_{\text{fus}}=m\,L_f=1500\\ \mathrm{lb}\times300\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lb}}=450\,000\\ \mathrm{BTU}.
  1. Potência média necessária para fundir em \Delta t=1{,}5\\ \mathrm{h}:
\dot{Q}_{\text{fus}}=\dfrac{Q_{\text{fus}}}{\Delta t}=\dfrac{450\,000}{1{,}5}\\ \mathrm{BTU/h}=300\,000\\ \mathrm{BTU/h}.

Passo 5

Potência total necessária e conversão para kW.
  1. Soma das potências em BTU/h:
\dot{Q}_{\text{tot}}=\dot{Q}_{\text{perda}}+\dot{Q}_{\text{fus}}=265\,161{,}6+300\,000=565\,161{,}6\\ \mathrm{BTU/h}.
  1. Converter para kW usando 1\\ \mathrm{BTU/h}=0{,}00029307107\\ \mathrm{kW}:
\dot{P}_{\text{tot}}=\dot{Q}_{\text{tot}}\times0{,}00029307107 \approx565\,161{,}6\times0{,}00029307107\\ \mathrm{kW}\approx165{,}6\\ \mathrm{kW}.
(Se preferir usar 1\\ \mathrm{kW}=3412{,}142\\ \mathrm{BTU/h}, então \dot{P}_{\text{tot}}=\dfrac{565\,161{,}6}{3412{,}142}\\ \mathrm{kW}\approx165{,}6\\ \mathrm{kW}, mesmo resultado.)

Passo 6

Breve verificação e interpretação (motivação prática).
  • A perda calculada ( \approx2{,}65\times10^{5}\\ \mathrm{BTU/h}) é da mesma ordem de grandeza da potência necessária para fundir a liga ( 3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{BTU/h}). Isso faz sentido: como a temperatura interna é muito alta, as perdas são grandes e uma fração significativa da energia fornecida serve apenas para repor perdas, não só para fundir a liga.
  • Na prática, sempre é bom acrescentar uma margem para ineficiências do equipamento e variações temporais; aqui calculamos a potência ideal teórica necessária para manter 1100^\circ\mathrm{F} e fundir o material em 1{,}5\\ \mathrm{h}.

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{perda}}\approx265\,162\\ \mathrm{BTU/h}
(b) \dot{P}_{\text{tot}}\approx165{,}6\\ \mathrm{kW}

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