Deseja-se resfriar óleo contido num tubo de 4^{\prime \prime} de diâmetro e comprimento 2,3 \mathrm{ft}. O tubo tem 40 aletas longitudinais, de 2^{\prime \prime} de largura e 1 / 16^{\prime \prime} de espessura. A temperatura média do óleo é 194^{\circ} \mathrm{F}; o ar externo está a 86^{\circ} \mathrm{F}. Determinar a taxa total de transferência de calor, dados:
-\mathrm{k}( do material das aletas )=34 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} \mathrm{ft}^{\circ} \mathrm{F}
-h_{(a r)}=2,05 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} \mathrm{ft}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{F}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados geométricos e térmicos (peguei todos do enunciado):
    • Diâmetro do tubo: D=4''.
    • Comprimento do tubo (e das aletas): L=2{,}3\\ \text{ft}.
    • Número de aletas longitudinais: N=40.
    • Largura (altura radial) da aleta: H=2''.
    • Espessura da aleta: t=\dfrac{1}{16}''.
    • Temperatura média do óleo (assumida como temperatura da base): T_b=194^\circ\mathrm{F}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=86^\circ\mathrm{F}.
    • Condutividade térmica do material das aletas: k=34\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}.
    • Coeficiente convectivo do ar: h=2{,}05\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2\,^\circ\mathrm{F}.
  • O que se pede:
    • Determinar a taxa total de transferência de calor do tubo com as 40 aletas longitudinais (isto é, Q_{\text{total}}).

Passo 2

Plano de solução e hipóteses simples (para a prova: são as mais comuns e justificáveis aqui)
  • Adotar a temperatura da superfície do tubo igual a T_b (ou seja, resistência térmica interna é desprezada ou pequena).
  • Tratar cada aleta como uma aleta retangular fina, de espessura t, altura (comprimento radial) H e “largura” no sentido longitudinal igual a L. Para esta geometria há fórmula padrão para o calor por aleta.
  • A transferência total será soma: contribuição das N aletas mais a transferência pelo resto da superfície do tubo que permanece exposta ao ar (área do tubo descontando a área de encaixe das aletas).
Agora apresento as fórmulas que vou usar (explico o significado de cada termo):
  • Temperatura diferencial entre base e ar: \theta_b = T_b - T_\infty.
  • Para uma aleta retangular fina (espessura t, altura H, largura longitudinal L), definimos:
    • Área de seção transversal para condução na aleta: A_c = t \, L.(é a área perpendicular ao fluxo de calor dentro da aleta; o calor flui radialmente pela espessura ao longo da altura, e a “profundidade” dessa seção é L.)
    • Perímetro molhado (exposto à convecção) da aleta (duas faces grandes, desprezando a ponta): P = 2\,L.
    • Parâmetro m que surge da solução da equação de calor na aleta: m = \sqrt{\dfrac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.(Repare que L cancela, portanto m depende de h, k e t apenas.)
    • Calor removido por uma aleta (solução padrão para aleta com convecção em faces e ponta): q_f = \sqrt{h P k A_c}\;\theta_b\;\operatorname{tanh}(m H).(É a forma compacta; note que \sqrt{hPkA_c}= \sqrt{2 h k t}\;L.)
  • Área externa do tubo sem considerar as aletas: A_{\text{tubo}} = \pi D L.A parte do tubo coberta pela raiz das aletas tem área total aproximada N\,t\,L; essa área não contribui à convecção livre direta porque está ocupada pela base das aletas. Assim a área exposta do tubo é: A_{\text{expo}} = A_{\text{tubo}} - N\,t\,L.
  • Calor pela área exposta do tubo (assumindo temperatura da superfície igual a T_b): Q_{\text{tubo}} = h\,A_{\text{expo}}\,\theta_b.
  • Taxa total: Q_{\text{total}} = N\,q_f + Q_{\text{tubo}}.

Passo 3

Converter todas as dimensões para pés (pois k e h estão em unidades com pé) e calcular \theta_b.
  • Conversões: \begin{aligned} D &= 4'' = \dfrac{4}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{1}{3}\\ \text{ft} \approx 0,333333\\ \text{ft},\\[4pt] H &= 2'' = \dfrac{2}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{1}{6}\\ \text{ft} \approx 0,166667\\ \text{ft},\\[4pt] t &= \dfrac{1}{16}'' = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{12}\\ \text{ft} = \dfrac{1}{192}\\ \text{ft} \approx 0,00520833\\ \text{ft},\\[4pt] L &= 2{,}3\\ \text{ft}\quad(\text{já em ft}). \end{aligned}á
  • Temperatura diferencial: \theta_b = T_b - T_\infty = 194 - 86 = 108\\ ^\circ\mathrm{F}.]

Passo 4

Calcular os parâmetros da aleta: A_c, P, m e \operatorname{tanh}(mH).
  • Área de seção transversal da aleta: A_c = t\,L = \left(\dfrac{1}{192}\right)\cdot 2{,}3 \approx 0,01197917\\ \text{ft}^2.
  • Perímetro molhado: P = 2\,L = 2\cdot 2{,}3 = 4{,}6\\ \text{ft}.
  • Calcular m: m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.Substituindo os valores: m = \sqrt{\dfrac{2\cdot 2{,}05}{34\cdot 0{,}00520833}} = \sqrt{\dfrac{4{,}10}{0{,}1770833}} \approx \sqrt{23{,}1628} \approx 4{,}8128\\ \text{ft}^{-1}.
  • Produto mH e sua hiperbólica: mH = 4{,}8128\cdot 0{,}166667 \approx 0{,}80213, \qquad \operatorname{tanh}(mH)\approx \operatorname{tanh}(0{,}80213)\approx 0{,}6652.
(Observação didática curta: \operatorname{tanh}(x) mede a razão entre diferença e soma das exponenciais e varia entre 0 e 1; para x da ordem de 0{,}8 é cerca de 0{,}66.)

Passo 5

Calcular o calor removido por uma aleta q_f.
  • Primeiro calcular o fator \sqrt{h P k A_c}. É conveniente usar a forma que cancela L: \sqrt{h P k A_c} = \sqrt{2 h k t}\;L.Então: \sqrt{2 h k t} = \sqrt{2\cdot 2{,}05\cdot 34\cdot 0{,}00520833} = \sqrt{0{,}7260417}\approx 0{,}85267\\ \left(\dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\,\mathrm{ft}}\right)^{1/2}.Multiplicando por L: \sqrt{hPkA_c} = 0{,}85267\cdot 2{,}3 \approx 1{,}9611\\ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\,^\circ\mathrm{F}}.
  • Agora aplicar a fórmula da aleta: q_f = \sqrt{hPkA_c}\;\theta_b\;\operatorname{tanh}(mH) \approx 1{,}9611\cdot 108\cdot 0{,}6652 \approx 140{,}87\\ \mathrm{Btu/h}.Assim cada aleta remove aproximadamente 140{,}9\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 6

Calcular a contribuição das N aletas:
Q_{\text{aletas}} = N\,q_f = 40\cdot 140{,}87 \approx 5\,634{,}8\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 7

Calcular a contribuição da superfície do tubo exposta (sem contar a área ocupada pelas raízes das aletas).
  • Área lateral do tubo: A_{\text{tubo}} = \pi D L = \pi\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 2{,}3 \approx 2{,}40927\\ \text{ft}^2.
  • Área total ocupada pelas raízes das aletas (aproximada por N\,t\,L): A_{\text{raiz}} = N\,t\,L = 40\cdot 0{,}00520833\cdot 2{,}3 \approx 0{,}4791667\\ \text{ft}^2.
  • Área exposta do tubo: A_{\text{expo}} = A_{\text{tubo}} - A_{\text{raiz}} \approx 2{,}40927 - 0{,}4791667 = 1{,}9301033\\ \text{ft}^2.
  • Calor por o tubo exposto: Q_{\text{tubo}} = h\,A_{\text{expo}}\,\theta_b = 2{,}05\cdot 1{,}9301033\cdot 108 \approx 427{,}69\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 8

Somar contribuições para obter a taxa total de calor:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{aletas}} + Q_{\text{tubo}} \approx 5\,634{,}8 + 427{,}69 \approx 6\,062{,}5\\ \mathrm{Btu/h}.
Interpretação curta e ânimo: o resultado indica que as aletas removem a maior parte do calor (mais de 90\% aqui), o que é esperado porque são longas e numerosas. Está indo bem — essa é exatamente a ideia na prova: calcular m, usar a fórmula da aleta e somar as áreas.

Resposta

Q_{\text{total}}\approx 6,06\times 10^{3}\\ \mathrm{Btu/h}

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