Deseja-se resfriar óleo contido num tubo de
de diâmetro e comprimento
. O tubo tem 40 aletas longitudinais, de
de largura e
de espessura. A temperatura média do óleo é
; o ar externo está a
. Determinar a taxa total de transferência de calor, dados:
do material das aletas
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados geométricos e térmicos (peguei todos do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo (e das aletas):
. - Número de aletas longitudinais:
. - Largura (altura radial) da aleta:
. - Espessura da aleta:
. - Temperatura média do óleo (assumida como temperatura da base):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Condutividade térmica do material das aletas:
. - Coeficiente convectivo do ar:
.
- Diâmetro do tubo:
-
O que se pede:
- Determinar a taxa total de transferência de calor do tubo com as
aletas longitudinais (isto é, ).
- Determinar a taxa total de transferência de calor do tubo com as
Passo 2
Plano de solução e hipóteses simples (para a prova: são as mais comuns e justificáveis aqui)
- Adotar a temperatura da superfície do tubo igual a
(ou seja, resistência térmica interna é desprezada ou pequena). - Tratar cada aleta como uma aleta retangular fina, de espessura
, altura (comprimento radial) e “largura” no sentido longitudinal igual a . Para esta geometria há fórmula padrão para o calor por aleta. - A transferência total será soma: contribuição das
aletas mais a transferência pelo resto da superfície do tubo que permanece exposta ao ar (área do tubo descontando a área de encaixe das aletas).
Agora apresento as fórmulas que vou usar (explico o significado de cada termo):
- Temperatura diferencial entre base e ar:
- Para uma aleta retangular fina (espessura
, altura , largura longitudinal ), definimos: - Área de seção transversal para condução na aleta:
(é a área perpendicular ao fluxo de calor dentro da aleta; o calor flui radialmente pela espessura ao longo da altura, e a “profundidade” dessa seção é .) - Perímetro molhado (exposto à convecção) da aleta (duas faces grandes, desprezando a ponta):
- Parâmetro
que surge da solução da equação de calor na aleta: (Repare que cancela, portanto depende de , e apenas.) - Calor removido por uma aleta (solução padrão para aleta com convecção em faces e ponta):
(É a forma compacta; note que .)
- Área de seção transversal para condução na aleta:
- Área externa do tubo sem considerar as aletas:
A parte do tubo coberta pela raiz das aletas tem área total aproximada ; essa área não contribui à convecção livre direta porque está ocupada pela base das aletas. Assim a área exposta do tubo é: - Calor pela área exposta do tubo (assumindo temperatura da superfície igual a
): - Taxa total:
Passo 3
Converter todas as dimensões para pés (pois
e
estão em unidades com pé) e calcular
.
- Conversões:
- Temperatura diferencial:
]
Passo 4
Calcular os parâmetros da aleta:
,
,
e
.
- Área de seção transversal da aleta:
- Perímetro molhado:
- Calcular
: Substituindo os valores: - Produto
e sua hiperbólica:
(Observação didática curta:
mede a razão entre diferença e soma das exponenciais e varia entre 0 e 1; para
da ordem de
é cerca de
.)
Passo 5
Calcular o calor removido por uma aleta
.
- Primeiro calcular o fator
. É conveniente usar a forma que cancela : Então: Multiplicando por : - Agora aplicar a fórmula da aleta:
Assim cada aleta remove aproximadamente .
Passo 6
Calcular a contribuição das
aletas:
Passo 7
Calcular a contribuição da superfície do tubo exposta (sem contar a área ocupada pelas raízes das aletas).
- Área lateral do tubo:
- Área total ocupada pelas raízes das aletas (aproximada por
): - Área exposta do tubo:
- Calor por o tubo exposto:
Passo 8
Somar contribuições para obter a taxa total de calor:
Interpretação curta e ânimo: o resultado indica que as aletas removem a maior parte do calor (mais de
aqui), o que é esperado porque são longas e numerosas. Está indo bem — essa é exatamente a ideia na prova: calcular
, usar a fórmula da aleta e somar as áreas.