O deslocamento de um êmbolo, num processo termodinâmico adiabático, quando colocado num gráfico p-V, é dado por:
Com base na Primeira Lei da Termodinâmica, calcular a variação da energia interna do sistema no intervalo [0, 3 pi2].
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre o deslocamento de um êmbolo em um processo termodinâmico adiabático, representado por uma função de pressão $ p(V) $ em função do volume $ V p(V) éçã \Delta U $) do sistema no intervalo de $ V = 0 $ até $ V = \frac{3\pi}{2} $. Para isso, vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna com o calor trocado e o trabalho realizado.
Passo 2
Primeira coisa, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que diz:
De
Onde:
$ \Delta U $ é a variação da energia interna.
$ Q $ é o calor trocado.
$ W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o processo é adiabático, não há troca de calor, ou seja, $ Q = 0 $. Portanto, a fórmula simplifica para:
De
Então, para encontrar $ \Delta U $, precisamos calcular o trabalho $ W $ realizado.
Passo 3
O trabalho $ W $ numa transformação é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W
Aqui, $ V_i = 0 $ e $ V_f = \frac{3\pi}{2} $. Nosso $ p(V) $ é uma função definida em três partes, então vamos dividir a integral em três intervalos:
De $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $: $ p(V) = \cos(V) + 1 $
De $ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $: $ p(V) = 1 $
De $ \pi $ a $ \frac{3\pi}{2} $: $ p(V) = V + (1 - \pi) $
Passo 4
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro intervalo ($ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $):
0
Segundo intervalo ($ \frac{\pi}{2} $ a $ \pi $):
pi2
Passo 5
Terceiro intervalo ($ \pi $ a $ \frac{3\pi}{2} $):
pi
Calculando cada parte:
3pi2
integralpi^3pi2 (V + (1 - pi)) , dV = integralpi^3pi2 V , dV + integralpi^3pi2 (1 - pi) , dV
Somando as duas partes:
integral V , dV = V^22 |pi^3pi2 = (3pi2)^22 - pi^22 = 9pi^28 - pi^22 = 9pi^2 - 4pi^28 = 5pi^28
Passo 6
Agora, vamos somar todas as partes do trabalho $ W $: