Um dessuperaquecedor é alimentado com 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de vapor d’água a 200^{\circ} \mathrm{C} e 300 kPa e com água liquida a 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine a vazão mássica de água liquida para que o dessuperaquecedor descarregue vapor saturado a 300 kPa . Calcule, também, a taxa de geração de entropia nesse processo de mistura. Considere o regime permanente irreversivel.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá certas informações. Vou listar claramente.
  • Perguntas:
    1. Determinar a vazão mássica de água líquida necessária para que o dessuperaquecedor descarregue vapor saturado a 300\\ \mathrm{kPa}.
    2. Calcular a taxa de geração de entropia no processo (regime permanente, irreversível).
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica do vapor superaquecido de entrada: \dot{m}_s = 2{,}00\\ \mathrm{kg/s}.
    • Estado do vapor de entrada: T = 200^\circ\mathrm{C} e p = 300\\ \mathrm{kPa} (logo é vapor superaquecido).
    • Água líquida de entrada a 20^\circ\mathrm{C} (vazão mássica \dot{m}_w a determinar).
    • Saída: vapor saturado à 300\\ \mathrm{kPa}.
    • Processo: regime permanente, irreversível (mistura), sem informação contrária — adotaremos as hipóteses usuais: fluxo estacionário, sem trabalho útil, sem variação apreciável de energia cinética e potencial e sem perdas de calor com o ambiente (o que nos permite usar balanço de energia entre fluxos).
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Princípios a usar (explicação didática do que vamos aplicar)
  • Balanço de massa em regime permanente: a massa que entra sai. Se \dot{m}_s é o vapor que entra e \dot{m}_w a água líquida que entra, a vazão na saída é
\dot{m}_{out}=\dot{m}_s+\dot{m}_w.
Isto é só a conservação da massa: nada se acumula.
  • Balanço de energia (primeira lei, regime permanente, fluxo de energia por massa via entalpia):
    para um dispositivo de mistura sem trabalho (além do fluxo de massa) e sem troca líquida de calor com o ambiente, o balanço de energia por unidade de tempo é
\dot{m}_s h_s + \dot{m}_w h_w = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) h_{out},
onde h é a entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg}). A entalpia inclui energia interna e trabalho de fluxo pv; em escoamentos a uma única pressão é a variável conveniente.
  • Balanço de entropia (segunda lei, forma integral para fluxo em regime permanente):
\dot{m}_s s_s + \dot{m}_w s_w + \dot{S}_{gen} = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) s_{out},
onde s é a entropia específica ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e \dot{S}_{gen} é a taxa de geração de entropia (sempre \ge 0 para processes irreversíveis). Reorganizando:
\dot{S}_{gen} = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) s_{out} - \dot{m}_s s_s - \dot{m}_w s_w.
Isso nos dá a geração de entropia em termos das entropias específicas e das vazões.
  • Método: usar o balanço de energia para encontrar \dot{m}_w (primeiro item), depois usar o balanço de entropia para obter \dot{S}_{gen} (segundo item). Simples e direto.

Passo 3

Propriedades necessárias e fontes (como obter as entalpias e entropias)
Precisamos das três propriedades específicas:
  • para o vapor de entrada (superaquecido a 200^\circ\mathrm{C} e 300\\ \mathrm{kPa}): h_s,\\ s_s;
  • para a água líquida a 20^\circ\mathrm{C}: h_w,\\ s_w;
  • para o vapor saturado à 300\\ \mathrm{kPa} (saída): h_{out}=h_g(p=300\\ \mathrm{kPa}),\\ s_{out}=s_g(p=300\\ \mathrm{kPa}).
Esses valores são obtidos em tabelas de vapor (tabelas de líquido saturado, vapor saturado e vapor superaquecido). Abaixo eu cito os valores que vou usar — eles são retirados de tabelas de vapor padrão (arredondados para 1 a 4 casas significativas, como em provas):
  • Propriedades do vapor saturado à p=300\\ \mathrm{kPa} (valor retirado da tabela de vapor saturado):
    T_{sat}=133{,}53^\circ\mathrm{C},\qquad h_{out}=h_g(0{,}3\\ \mathrm{MPa})=2778{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_{out}=s_g(0{,}3\\ \mathrm{MPa})=6{,}859\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Propriedades do vapor superaquecido de entrada ( p=300\\ \mathrm{kPa},\\ T=200^\circ\mathrm{C}) — retiradas da tabela de vapor superaquecido:
    h_s = 2861{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_s = 7{,}001\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Propriedades da água líquida a 20^\circ\mathrm{C} (aproximadas por propriedades da água condensada; valores tabelados):
    h_w = 83{,}94\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_w = 0{,}2969\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Observação curta e prática: nas provas normalmente estes números são dados ou você usa uma tabela; eu anotei explicitamente os números que vou aplicar.

Passo 4

Cálculo da vazão mássica de água líquido usando o balanço de energia
A equação do balanço de energia (escrita no Passo 2) pode ser rearranjada para isolar \dot{m}_w. Começamos por:
\dot{m}_s h_s + \dot{m}_w h_w = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) h_{out}.
Isolando \dot{m}_w:
\dot{m}_s h_s + \dot{m}_w h_w = \dot{m}_s h_{out} + \dot{m}_w h_{out}
\dot{m}_w (h_w - h_{out}) = \dot{m}_s (h_{out} - h_s)
\dot{m}_w = \dot{m}_s\\ \frac{h_{out}-h_s}{h_w - h_{out}}.
Agora substituímos os números (todos em \mathrm{kJ/kg}, \mathrm{kg/s}):
\dot{m}_w = 2{,}00\cdot\frac{2778{,}1 - 2861{,}9}{83{,}94 - 2778{,}1}.
Calcule passo a passo:
h_{out}-h_s = 2778{,}1 - 2861{,}9 = -83{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
h_w - h_{out} = 83{,}94 - 2778{,}1 = -2694{,}16\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto
\dot{m}_w = 2{,}00\cdot\frac{-83{,}8}{-2694{,}16}=2{,}00\cdot 0{,}03111\approx 0{,}06222\\ \mathrm{kg/s}.
Resultado: a vazão de água líquida necessária é aproximadamente \dot{m}_w \approx 0{,}0622\\ \mathrm{kg/s}.
Breve comentário prático: é uma vazão pequena — faz sentido: consegue-se dessuperaquentar grande massa de vapor com pequena água fria, porque a água absorve calor ao evaporar (alta entalpia de vaporização).

Passo 5

Cálculo da taxa de geração de entropia \dot{S}_{gen}
Usamos a fórmula do balanço de entropia (Passo 2):
\dot{S}_{gen} = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) s_{out} - \dot{m}_s s_s - \dot{m}_w s_w.
Substituímos os valores numéricos:
  • \dot{m}_s = 2{,}00\\ \mathrm{kg/s}.
  • \dot{m}_w = 0{,}06222\\ \mathrm{kg/s}.
  • s_{out} = 6{,}859\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • s_s = 7{,}001\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • s_w = 0{,}2969\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calculemos termpor a termo:
  1. Massa de saída:
\dot{m}_{out}=\dot{m}_s+\dot{m}_w = 2{,}00 + 0{,}06222 = 2{,}06222\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Entropia de saída (fluxo):
\dot{m}_{out}s_{out}=2{,}06222\cdot 6{,}859 = 14{,}1448\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
(foi calculado: 6{,}859\times 2{,}06222\approx 14{,}1448).
  1. Entropia das entradas:
\dot{m}_s s_s = 2{,}00\cdot 7{,}001 = 14{,}002\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)},
\dot{m}_w s_w = 0{,}06222\cdot 0{,}2969 = 0{,}01848\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
Soma das entradas:
\dot{m}_s s_s + \dot{m}_w s_w = 14{,}002 + 0{,}01848 = 14{,}02048\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
  1. Geração de entropia:
\dot{S}_{gen} = 14{,}1448 - 14{,}02048 = 0{,}12432\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
Unidades: \mathrm{kJ/(s\cdot K)} é o mesmo que \mathrm{kW/K}. Como é costume expressar taxa de geração de entropia em \mathrm{kW/K} ou \mathrm{kJ/(s\cdot K)}, deixamos assim. Em unidades de \mathrm{W/K} seria 124{,}3\\ \mathrm{W/K}.
Verificação rápida: \dot{S}_{gen} \ge 0 (aqui é positivo), então faz sentido físico — mistura irreversível gera entropia.

Passo 6

Interpretação final e dicas práticas (como replicar isso na prova)
  • Fórmulas-chave que você deve decorar e aplicar rápido:
    • Balanço de massa: \dot{m}_{out}=\dot{m}_s+\dot{m}_w.
    • Balanço de energia (fluxos de entalpia): \dot{m}_s h_s + \dot{m}_w h_w = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) h_{out}.
    • Balanço de entropia: \dot{S}_{gen} = (\dot{m}_s+\dot{m}_w) s_{out} - \dot{m}_s s_s - \dot{m}_w s_w.
  • Procedimento prático e rápido na prova:
    1. Pegue nas tabelas: h_s, s_s (vapor superaquecido), h_{out}, s_{out} (vapor saturado à pressão dada) e h_w, s_w (água à temperatura de entrada).
    2. Use a fórmula analítica para \dot{m}_w (evita ter que reorganizar com pressa).
    3. Substitua e calcule com atenção às unidades.
    4. Calcule \dot{S}_{gen} pela fórmula direta. Cheque se \dot{S}_{gen}\ge 0.
  • Comentário motivador: ficou muita conta mas o caminho é sempre o mesmo — massa, energia, entropia. Dá pra fazer rápido se você tiver as tabelas organizadas. Vai com calma que dá certo!

Resposta

\dot{m}_w \approx 0{,}0622\\ \mathrm{kg/s}
\dot{S}_{gen} \approx 0{,}1243\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} (ou 124{,}3\\ \mathrm{W/K})

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