Líquido saturado sai do condensador a 1 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Após a bomba a pressão é de 20 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Após a caldeira a temperatura é de 300^{\circ} \mathrm{C}. Determine a eficiência do ciclo ideal de Rankine

Passo 1

O enunciado dá um ciclo ideal de Rankine com as seguintes informações (resumo do que é pedido e dos dados):
  • O fluido que sai do condensador é líquido saturado à pressão de 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Após a bomba a pressão é de 20\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Depois da caldeira o vapor está a 300^\circ\mathrm{C} (essa temperatura é no estado de saída da caldeira, a pressão neste ponto é a pressão elevada da bomba, ou seja 20\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}).
  • Pede-se: a eficiência térmica do ciclo ideal de Rankine (básico, sem regeneração) com esses estados.
Informações numéricas que vamos usar (conversões de unidade):
1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 0{,}0980665\\ \mathrm{MPa}.
Portanto:
p_{cond} = 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 0{,}09807\\ \mathrm{MPa},
p_{pico} = 20\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 1{,}96133\\ \mathrm{MPa}.
Observação: na resolução iremos usar propriedades da água/vapor obtidas em tabelas de vapor (tabelas saturadas e superaquecido). Abaixo, quando eu citar valores como h, s, v para um certo ponto de pressão/temperatura, são valores retirados de tabelas de vapor padrão (estou explicitando os números que usei).

Passo 2

Desenho mental do ciclo e equações principais (conceito passo a passo):
  • Estados do ciclo ideal de Rankine: 1 = saída do condensador (líquido saturado à baixa pressão), 2 = saída da bomba (líquido comprimido à alta pressão), 3 = saída da caldeira (vapor superaquecido à alta pressão e 300^\circ\mathrm{C}), 4 = saída da turbina (vapor expandido isentropicamente até a pressão do condensador).
  • Equações de energia por unidade de massa (em kJ/kg, ciclo ideal):
    trabalho da bomba:
    w_{pump} = h_2 - h_1 \approx v_1 (p_2 - p_1)
    (a aproximação é válida porque a água líquida tem volume específico pequeno e variação de entalpia do líquido comprimido é aproximadamente v\Delta p).
    trabalho da turbina:
    w_{turb} = h_3 - h_4,
    com expansão isentrópica s_4 = s_3.
    trabalho líquido:
    w_{net} = w_{turb} - w_{pump} = (h_3 - h_4) - (h_2 - h_1).
    calor fornecido na caldeira:
    q_{in} = h_3 - h_2.
    eficiência térmica do ciclo:
    \eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{(h_3 - h_4) - (h_2 - h_1)}{h_3 - h_2} = 1 - \frac{h_4 - h_1}{h_3 - h_2}.
Agora vamos calcular cada termo: precisamos de h_1,s_1,v_1 no estado saturado à pressão do condensador; depois h_2 (com bomba), h_3,s_3 no estado superaquecido (pressão alta e 300^\circ\mathrm{C}), e h_4 obtido ao usar s_4=s_3 e a pressão de condensador (com isso achamos a qualidade x_4 e h_4).

Passo 3

Propriedades no estado 1 (líquido saturado a p_1 = 0{,}09807\\ \mathrm{MPa}, ou aproximadamente 0,1 MPa).
Usando tabelas de vapor saturado (valores típicos em 0,1 MPa):
  • entalpia do líquido saturado: h_1 = h_f(p_1) = 417{,}51\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • entropia do líquido saturado: s_1 = s_f(p_1) = 1{,}303\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • volume específico do líquido saturado: v_1 = v_f(p_1) = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • calor latente: h_{fg}(p_1) \approx 2257{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • entropia de vaporização: s_{fg}(p_1) = s_g - s_f \approx 6{,}052\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Explanação rápida: h_f é a entalpia do líquido saturado, v_f é o volume específico do líquido saturado. Esses números vêm diretamente da tabela saturada a cerca de 0{,}1\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 4

Cálculo do trabalho da bomba e h_2.
A bomba comprime a água de p_1 para p_2. Como a água é praticamente incompressível, usamos a fórmula aproximada
w_{pump} \approx v_1 (p_2 - p_1).
Aqui v_1 em \mathrm{m^3/kg} e p em \mathrm{kPa} (ou usar MPa com ajuste). Vou usar p em kPa para obter w_{pump} em kJ/kg.
Calculemos p_1 e p_2 em kPa:
p_1 = 0{,}09807\\ \mathrm{MPa} = 98{,}07\\ \mathrm{kPa},
p_2 = 1{,}96133\\ \mathrm{MPa} = 1961{,}33\\ \mathrm{kPa}.
Diferença:
\Delta p = p_2 - p_1 = 1961{,}33 - 98{,}07 = 1863{,}26\\ \mathrm{kPa}.
Agora:
w_{pump} \approx v_1 \Delta p = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}\times 1863{,}26\\ \mathrm{kPa} = 1{,}943\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{aprox.}).
A entalpia no ponto 2 é:
h_2 = h_1 + w_{pump} = 417{,}51 + 1{,}943 = 419{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Explicação: o trabalho da bomba é pequeno porque v_1 é pequeno; essa contribuição é subtraída depois do trabalho da turbina.)

Passo 5

Propriedades no estado 3 (saída da caldeira): vapor superaquecido a p_2=1{,}96133\\ \mathrm{MPa} e T_3=300^\circ\mathrm{C}.
Consultando tabelas de vapor superaquecido para p\approx 2{,}0\\ \mathrm{MPa} e 300^\circ\mathrm{C}, obtemos (valores de tabela padrão):
  • entalpia do vapor superaquecido: h_3 \approx 3050{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • entropia do vapor superaquecido: s_3 \approx 6{,}593\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Observação: usei valores típicos de tabela para p muito próximo de 1{,}961\\ \mathrm{MPa}. Se você consultar outra tabela, poderá obter números muito próximos; pequenas diferenças mudam levemente o resultado final.)

Passo 6

Determinação de h_4 (saída da turbina) pela expansão isentrópica até p_1.
Na expansão ideal (isentrópica):
s_4 = s_3.
Para encontrar h_4 na pressão do condensador p_1, usamos as propriedades saturadas a p_1. No diagrama de saturação, para p_1 sabemos s_f e s_g. A qualidade x_4 do vapor ao final da expansão é dada por:
x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_{fg}} = \frac{s_3 - s_f}{s_{fg}}.
Substituindo os valores:
x_4 = \frac{6{,}593 - 1{,}303}{6{,}052} = \frac{5{,}290}{6{,}052} \approx 0{,}8743.
Agora a entalpia no ponto 4 é
h_4 = h_f + x_4\; h_{fg}.
Usando h_f = 417{,}51\\ \mathrm{kJ/kg} e h_{fg} = 2257{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}:
h_4 = 417{,}51 + 0{,}8743\times 2257{,}1 = 417{,}51 + 1974{,}9 \approx 2392{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Explicação: x_4 é a fração em massa que está em vapor seco; multiplicando por h_{fg} obtemos a contribuição do vapor e somamos ao h_f que é a entalpia do líquido saturado.)

Passo 7

Calculemos os termos principais: trabalho da turbina, trabalho líquido, calor fornecido e eficiência.
  • Trabalho da turbina por unidade de massa: w_{turb} = h_3 - h_4 = 3050{,}0 - 2392{,}4 = 657{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho da bomba (já calculado): w_{pump} = 1{,}943\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido: w_{net} = w_{turb} - w_{pump} = 657{,}6 - 1{,}943 = 655{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado na caldeira: q_{in} = h_3 - h_2 = 3050{,}0 - 419{,}45 = 2630{,}55\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Cálculo da eficiência térmica do ciclo:
Usando
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{655{,}7}{2630{,}55} \approx 0{,}2494.
Convertendo para porcentagem:
\eta \approx 24{,}94\\ \%.
(Interpretação: a eficiência térmica é cerca de 25\%. Isso é típico de um ciclo Rankine com condensador próximo a 0,1 MPa e vapor superaqueçado a 300^\circ\mathrm{C} e pressão de 20 kgf/cm^2.)

Resposta

\eta \approx 24{,}94\\ \%

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