Uma determinada máquina térmica, contendo 1 mol de gás ideal, opera em ciclos entre as temperaturas de 500^{\circ} \mathrm{C} e 80^{\circ} \mathrm{C}. Calcular:
(a) a eficiência teórica máxima desse sistema;
(b) considerando que o mesmo sistema, operando em condições normais, possui cerca de 15 \% de perdas com atritos das peças e perdas de energia para o meio externo, calcular a nova eficiência do mesmo sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Uma máquina térmica opera entre as temperaturas de 500^{\circ}\mathrm{C} (parte quente) e 80^{\circ}\mathrm{C} (parte fria).
    • A quantidade de gás ( 1 mol) não é necessária para calcular a eficiência teórica de Carnot, mas foi informada.
    • Para a parte (b) o enunciado diz que há cerca de 15\% de perdas por atrito e para o meio externo.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a eficiência teórica máxima do sistema.
    (b) Considerando 15\% de perdas, calcular a nova eficiência do sistema em condições normais.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e sem medo):
  • A eficiência máxima que uma máquina térmica pode ter, trabalhando entre duas temperaturas, é dada pela eficiência de Carnot. Essa eficiência é uma consequência do segundo princípio da termodinâmica: nenhuma máquina pode ser mais eficiente do que um ciclo de Carnot operando entre as mesmas duas temperaturas.
  • A fórmula de Carnot é
\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde:
  • \eta_{\text{max}} é a eficiência máxima (adimensional; para transformar em porcentagem multiplica-se por 100),
  • T_h é a temperatura absoluta do reservatório quente (em kelvin),
  • T_c é a temperatura absoluta do reservatório frio (em kelvin).
Importante: as temperaturas devem estar em kelvin (K). Para converter de graus Celsius para kelvin usamos:
T(\text{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15.
Vou mostrar cada passo da conta para você conseguir refazer sem calculadora.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas para kelvin.
  • Temperatura quente:
T_h = 500 + 273,15 = 773,15\\ \text{K}.
  • Temperatura fria:
T_c = 80 + 273,15 = 353,15\\ \text{K}.
(Expliquei porque somei 273,15: é a conversão direta Celsius → Kelvin.)

Passo 4

Calcular a eficiência teórica máxima usando a fórmula de Carnot.
  • Escrevendo a fórmula com os valores:
\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{353,15}{773,15}.
  • Agora fazemos a divisão passo a passo (modo manual aproximado, para fazer sem calculadora):
    • Podemos notar que \dfrac{353,15}{773,15} é cerca de 0,45677 (faça a divisão longa ou uma aproximação por partes; eu apresento aqui o valor aproximado com precisão suficiente).
    • Então
\eta_{\text{max}} \approx 1 - 0,45677 = 0,54323.
  • Convertendo para porcentagem:
\eta_{\text{max}} \approx 0,54323 \times 100\% \approx 54,32\%.
(Resumo: a eficiência máxima teórica é aproximadamente 54,32\%.)

Passo 5

Interpretação das perdas de 15\% e como aplicá-las (explicação didática):
  • O enunciado diz que “possui cerca de 15\% de perdas com atritos… e perdas de energia para o meio externo”. A interpretação física mais direta é: dessas possíveis energias úteis (do cenário ideal), cerca de 15\% se perde por atrito e vazamentos, logo somente 85\% do trabalho ideal aparece como trabalho útil real.
  • Portanto a forma natural de ajustar a eficiência ideal para perdas é multiplicar a eficiência ideal por 1 - 0,15 = 0,85. Não subtrai-se 15 pontos percentuais diretamente (isso corresponderia a outra interpretação, menos física), por isso escolho a multiplicação — é a abordagem usada em engenharia quando se fala em “perdas de x%”.

Passo 6

Calcular a eficiência real considerando as perdas ( 15\%).
  • Fórmula aplicada:
\eta_{\text{real}} = \eta_{\text{max}} \times (1 - 0,15) = \eta_{\text{max}} \times 0,85.
  • Usando o valor de \eta_{\text{max}} encontrado:
\eta_{\text{real}} \approx 0,54323 \times 0,85 = 0,46175\\ (\text{aprox.}).
  • Em porcentagem:
\eta_{\text{real}} \approx 0,46175 \times 100\% \approx 46,17\%.
(Resumo: com 15\% de perdas, a eficiência cai para cerca de 46,17\%.)

Resposta

(a) 54,32\%
(b) 46,17\%

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