Um fornecer de hambúrgueres congelados está pensando em embalá-los em filmes de polipropileno de 0,1 \mathrm{~mm} de espessura. A permeabilidade do polipropileno para o oxigênio é 1.10-8 \mathrm{~cm} 3 /(\mathrm{s} . \mathrm{cm} 2 . \mathrm{atm} / \mathrm{cm}) e do polipropileno para a água é 8.10-15 \mathrm{~cm} 3 /(\mathrm{s} . \mathrm{cm} 2 . \mathrm{atm} / \mathrm{cm}). A pressão parcial do oxigênio dentro da embalagem é 0 atm, e a pressão de vapor da água dentro da embalagem é 0,12 \mathrm{~Pa}. Fora da embalagem, a pressão parcial do oxigênio é 0,21 \mathrm{~atm}, e do vapor de água é 0,04 \mathrm{~Pa}. Calcule quanto de oxigênio e quanto de vapor de água passará através do filme de polipropileno de 600 cm 2 de área de superfície em uma semana.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quanto de oxigênio e quanto de vapor de água atravessará um filme de polipropileno em uma semana. As informações fornecidas são:
espessura do filme: 0{,}1\\ \mathrm{mm}
área do filme: 600\\ \mathrm{cm}^2
permeabilidade do polipropileno para o oxigênio: P_{O_2}=1\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}/\mathrm{cm})
permeabilidade do polipropileno para a água (vapor): P_{H_2O}=8\times10^{-15}\\ \mathrm{cm}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}/\mathrm{cm})
pressão parcial de oxigênio dentro da embalagem: 0\\ \mathrm{atm}
pressão parcial de oxigênio fora da embalagem: 0{,}21\\ \mathrm{atm}
pressão parcial de vapor de água dentro da embalagem: 0{,}12\\ \mathrm{Pa}
pressão parcial de vapor de água fora da embalagem: 0{,}04\\ \mathrm{Pa}
duração desejada: 1\\ \text{semana} = 7\cdot24\cdot3600 = 604800\\ \mathrm{s}
O que devemos achar: o volume total (em \mathrm{cm}^3 — volume de gás às condições padrão usado nas unidades de permeabilidade) de oxigênio que atravessa a área em uma semana e, analogamente, o volume total de vapor d’água que atravessa na mesma semana. (Opcionalmente podemos converter para mols e massa.)

Passo 2

Vamos usar a lei simples da permeação através de filme homogêneo: o fluxo volumétrico (volume de gás por unidade de tempo atravessando a área total) é dado por
Q = P\;\frac{\Delta p}{\ell}\;A
onde:
Q é a vazão volumétrica em \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} (volume de gás, geralmente referido a condições padrão),
P é a permeabilidade do material em \mathrm{cm}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}/\mathrm{cm}),
\Delta p é a diferença de pressão parcial do gás (em \mathrm{atm}),
\ell é a espessura do filme (em \mathrm{cm}),
A é a área (em \mathrm{cm}^2).
Explicação breve: P já contém a facilidade do gás em atravessar o material por unidade de espessura e por unidade de pressão; multiplicando P por \Delta p/\ell obtemos um fluxo por área ( \mathrm{cm}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}^2)); multiplicando por A dá o volume por tempo Q. O volume total em um intervalo de tempo t é V=Q\cdot t.

Passo 3

Primeiro fazemos conversões e computamos os \Delta p.
Espessura: \ell = 0{,}1\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{cm}.
Área: A = 600\\ \mathrm{cm}^2.
Tempo: t = 604800\\ \mathrm{s}.
Para o oxigênio:
pressão dentro =0\\ \mathrm{atm}, fora =0{,}21\\ \mathrm{atm} então
\Delta p_{O_2}=0{,}21-0 = 0{,}21\\ \mathrm{atm}.
Para o vapor de água precisamos converter as pressões de \mathrm{Pa} para \mathrm{atm}. Lembre que 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
\Delta p_{H_2O}=(0{,}12-0{,}04)\\ \mathrm{Pa}=0{,}08\\ \mathrm{Pa} = \frac{0{,}08}{101325}\\ \mathrm{atm}\approx 7{,}8957\times10^{-7}\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Calculamos o fluxo e o volume total para o oxigênio.
Usando \displaystyle Q_{O_2}=P_{O_2}\frac{\Delta p_{O_2}}{\ell}A, temos
Q_{O_2}= (1\times10^{-8})\cdot\frac{0{,}21}{0{,}01}\cdot600\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Façamos a conta por passos:
1\times10^{-8}\cdot600=6{,}0\times10^{-6}.
6{,}0\times10^{-6}\cdot0{,}21=1{,}26\times10^{-6}.
Dividindo por 0{,}01 Q_{O_2}=1{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Volume em uma semana:
V_{O_2}=Q_{O_2}\cdot t = 1{,}26\times10^{-4}\cdot604800 \\ \mathrm{cm}^3 \approx 76{,}2048\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Convertendo o volume de oxigênio para mols e massa (opcional, mas útil para intuição).
Usamos o volume molar nas CNTP aproximado V_m\approx22414\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
n_{O_2}=\frac{V_{O_2}}{V_m}=\frac{76{,}2048}{22414}\\ \mathrm{mol}\approx 3{,}4009\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
Massa (massa molar M_{O_2}=32\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}):
m_{O_2}=n_{O_2}\cdot M_{O_2}\approx 3{,}4009\times10^{-3}\cdot32\\ \mathrm{g}\approx 0{,}1088\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Agora fazemos a mesma sequência para o vapor d’água.
Usando \displaystyle Q_{H_2O}=P_{H_2O}\frac{\Delta p_{H_2O}}{\ell}A, com P_{H_2O}=8\times10^{-15} e \Delta p_{H_2O}\approx7{,}8957\times10^{-7}\\ \mathrm{atm}, obtemos
Q_{H_2O}= (8\times10^{-15})\cdot\frac{7{,}8957\times10^{-7}}{0{,}01}\cdot600\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Calcule por passos:
8\times10^{-15}\cdot7{,}8957\times10^{-7}=6{,}3166\times10^{-21}.
Dividindo por 0{,}01 6{,}3166\times10^{-19}.
Multiplicando por 600 Q_{H_2O}\approx3{,}78996\times10^{-16}\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Volume em uma semana:
V_{H_2O}=Q_{H_2O}\cdot t \approx 3{,}78996\times10^{-16}\cdot604800 \\ \mathrm{cm}^3 \approx 2{,}2930\times10^{-10}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Convertendo o volume de vapor d’água para mols e massa:
Mols:
n_{H_2O}=\frac{V_{H_2O}}{V_m}=\frac{2{,}2930\times10^{-10}}{22414}\\ \mathrm{mol}\approx 1{,}0239\times10^{-14}\\ \mathrm{mol}.
Massa (massa molar M_{H_2O}=18\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}):
m_{H_2O}=n_{H_2O}\cdot M_{H_2O}\approx 1{,}0239\times10^{-14}\cdot18\\ \mathrm{g}\approx 1{,}84\times10^{-13}\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Interpretação rápida (motivação): o resultado mostra que, com o filme de polipropileno de 0{,}1\\ \mathrm{mm}, uma quantidade apreciável de oxigênio (algumas dezenas de \mathrm{cm}^3) entra em uma semana, enquanto a passagem de vapor d’água é praticamente desprezível (ordem 10^{-10}\\ \mathrm{cm}^3 de vapor standard), o que explica por que filmes poliméricos comuns protegem bem contra perda de umidade, mas não são excelentes barreiras ao oxigênio sem tratamentos/adesivos especiais.

Resposta

Oxigênio: 76{,}2\\ \mathrm{cm}^3 (≈ 3{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}, ≈ 0{,}1088\\ \mathrm{g}).
Vapor d’água: 2{,}29\times10^{-10}\\ \mathrm{cm}^3 (≈ 1{,}02\times10^{-14}\\ \mathrm{mol}, ≈ 1{,}84\times10^{-13}\\ \mathrm{g}).

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