A reação entre FeO e carbono na produção de ferro-gusa pode ser considerada de primeira ordem. A uma dada temperatura, a conversão de FeO é de
após 90 min. Em quanto tempo a conversão de FeO será de
nessa temperatura? Determine a constante de velocidade.
Passo 1
Dados que o enunciado fornece:
- A reação pode ser considerada de primeira ordem (isto está explícito no enunciado).
- A conversão de FeO é de
após min.
Perguntas que o enunciado faz: - Em quanto tempo a conversão de FeO será de
nessa mesma temperatura? - Determinar a constante de velocidade
.
Passo 2
O que significa “primeira ordem” e qual é a lei integrada que vamos usar (aula miniatura):
- Para uma reação elementar de primeira ordem, a velocidade instantânea é proporcional à concentração do reagente. Em símbolos, se chamarmos a concentração de FeO de
, a lei diferencial é
onde
é a constante de velocidade (unidade tipicamente
, aqui
) e o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
- Para resolver essa equação, separamos variáveis e integramos. Fazendo a separação:
Integramos dos valores iniciais
em
até
em tempo
:
- As integrais dão:
- Em termos de conversão
(fração reagida), temos . Substituindo:
- Portanto a fórmula prática que vamos usar é
ou, para achar o tempo necessário para uma conversão
,
Explicação das variáveis:
-
: concentração inicial de FeO. -
: concentração de FeO no tempo . -
: conversão (fração reagida), por ex. para . -
: constante de velocidade (a determinar). -
: tempo.
Passo 3
Determinar
usando a condição dada (
em
min):
- Usamos a fórmula
. - Substituindo
e :
- Calculando numericamente:
. Logo
- Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
.
Breve comentário: a unidade épois usamos tempo em minutos.
Passo 4
Determinar o tempo para
de conversão (
), usando o
encontrado:
- Usamos
. - Substituindo
e :
- Como
, então
- Arredondando:
. - Converter para horas e minutos para sentir melhor o tempo:
(pois , sobra ).
Passo 5
Checagem rápida e intuição:
- Com
temos a famosa relação do tempo de meia-vida para ordem 1: (coerente com o dado). - Para
a razão , e a decaída exponencial exige mais tempo que para 50% — por isso passamos de 90 min (para 50%) para cerca de 299 min (para 90%).