A reação entre FeO e carbono na produção de ferro-gusa pode ser considerada de primeira ordem. A uma dada temperatura, a conversão de FeO é de 50 \% após 90 min. Em quanto tempo a conversão de FeO será de 90 \% nessa temperatura? Determine a constante de velocidade.

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
  • A reação pode ser considerada de primeira ordem (isto está explícito no enunciado).
  • A conversão de FeO é de 50\% após 90 min.
    Perguntas que o enunciado faz:
  • Em quanto tempo a conversão de FeO será de 90\% nessa mesma temperatura?
  • Determinar a constante de velocidade k.

Passo 2

O que significa “primeira ordem” e qual é a lei integrada que vamos usar (aula miniatura):
  • Para uma reação elementar de primeira ordem, a velocidade instantânea é proporcional à concentração do reagente. Em símbolos, se chamarmos a concentração de FeO de [A], a lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde k é a constante de velocidade (unidade tipicamente \text{tempo}^{-1}, aqui \text{min}^{-1}) e o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
  • Para resolver essa equação, separamos variáveis e integramos. Fazendo a separação:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integramos dos valores iniciais [A]_0 em t=0 até [A] em tempo t:
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
  • As integrais dão:
\ln\!\left(\frac{[A]}{[A]_0}\right) = -kt.
  • Em termos de conversão X (fração reagida), temos [A]=[A]_0(1-X). Substituindo:
\ln(1-X) = -kt \quad\Longrightarrow\quad -\ln(1-X)=kt.
  • Portanto a fórmula prática que vamos usar é
k = -\frac{1}{t}\ln(1-X)
ou, para achar o tempo necessário para uma conversão X,
t = -\frac{1}{k}\ln(1-X).
Explicação das variáveis:
  • [A]_0: concentração inicial de FeO.
  • [A]: concentração de FeO no tempo t.
  • X: conversão (fração reagida), por ex. X=0{,}50 para 50\%.
  • k: constante de velocidade (a determinar).
  • t: tempo.

Passo 3

Determinar k usando a condição dada ( X=50\% = 0{,}50 em t=90 min):
  • Usamos a fórmula \displaystyle k = -\frac{1}{t}\ln(1-X).
  • Substituindo X=0{,}50 e t=90\\ \text{min}:
k = -\frac{1}{90}\ln(1-0{,}50) = -\frac{1}{90}\ln(0{,}50).
  • Calculando numericamente: \ln(0{,}50) = -\ln 2 \approx -0{,}693147. Logo
k = \frac{\ln 2}{90} \approx \frac{0{,}693147}{90} \approx 0{,}0077016\\ \text{min}^{-1}.
  • Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos): k \approx 0{,}00770\\ \text{min}^{-1}.
    Breve comentário: a unidade é \text{min}^{-1} pois usamos tempo em minutos.

Passo 4

Determinar o tempo para 90\% de conversão ( X=0{,}90), usando o k encontrado:
  • Usamos \displaystyle t = -\frac{1}{k}\ln(1-X).
  • Substituindo X=0{,}90 e k\approx 0{,}0077016\\ \text{min}^{-1}:
t = -\frac{1}{0{,}0077016}\ln(1-0{,}90) = -\frac{1}{0{,}0077016}\ln(0{,}10).
  • Como -\ln(0{,}10)=\ln(10)\approx 2{,}302585, então
t \approx \frac{2{,}302585}{0{,}0077016} \approx 298{,}99\\ \text{min}.
  • Arredondando: t \approx 299\\ \text{min}.
  • Converter para horas e minutos para sentir melhor o tempo: 299\\ \text{min} = 4\\ \text{h}\\\ 59\\ \text{min} (pois 4\\ \text{h} = 240\\ \text{min}, sobra 59\\ \text{min}).

Passo 5

Checagem rápida e intuição:
  • Com k=\dfrac{\ln 2}{90} temos a famosa relação do tempo de meia-vida para ordem 1: t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}=90\\ \text{min} (coerente com o dado).
  • Para 90\% a razão [A]/[A]_0 = 1-X = 0{,}10, e a decaída exponencial exige mais tempo que para 50% — por isso passamos de 90 min (para 50%) para cerca de 299 min (para 90%).

Resposta

t_{90\%} \approx 298{,}99\\ \text{min} \approx 299\\ \text{min} = 4\\ \text{h}\\\ 59\\ \text{min}
k \approx 0{,}0077016\\ \text{min}^{-1} \approx 0{,}00770\\ \text{min}^{-1}

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