Determine a constante de velocidade de uma reação de ordem zero sabendo que a concentração inicial do reagente é igual a 1.5 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e 0.75 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} após 120 segundos. Determine também a meia vida do reagente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados: [A]_0 = 1,5\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[A]_{120} = 0,75\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
e o tempo associado a essa segunda concentração é t=120\\ \mathrm{s}.
  • Pedidos:
    1. Determinar a constante de velocidade k.
    2. Determinar a meia‑vida t_{1/2} do reagente.
Vou resolver passo a passo usando apenas as informações acima.

Passo 2

Entendendo a lei integrada apropriada: para uma reação de ordem zero a velocidade é constante e a relação entre concentração e tempo é linear. A expressão integrada é obtida a partir da definição diferencial da velocidade; escrevemos primeiro a equação diferencial e depois integramos:
  • Definições das variáveis:
    [A](t)\\ \text{ou}\\ [A]_t
    é a concentração do reagente num tempo t.
    [A]_0
    é a concentração inicial (em t=0).
    k
    é a constante de velocidade (valor positivo).
    t
    é o tempo.
  • Para ordem zero a equação diferencial é
    -\frac{d[A]}{dt}=k.
    Integrando ambos os lados entre 0 e t (explicando a integração):
    -\int_{[A]_0}^{[A]_t} d[A] = \int_{0}^{t} k\,dt.
    O lado esquerdo dá -([A]_t-[A]_0) = [A]_0-[A]_t e o lado direito dá kt. Portanto a forma integrada é
    [A]_t = [A]_0 - k\,t.

Passo 3

Isolando k a partir da relação integrada: partimos de
[A]_t = [A]_0 - k\,t.
Subtraindo [A]_t e dividindo por t obtemos
k = \frac{[A]_0 - [A]_t}{t}.
Observação sobre unidades: como o numerador tem unidade de concentração \mathrm{mol\,L^{-1}} e o denominador tem unidade de tempo \mathrm{s}, a unidade de k será \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.

Passo 4

Cálculo numérico da constante k. Usando os dados do enunciado:
k = \frac{[A]_0 - [A]_{120}}{120} = \frac{1,5 - 0,75}{120}.
Fazendo a subtração:
1,5 - 0,75 = 0,75.
Agora a divisão:
k = \frac{0,75}{120} = 0,00625\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.
Em notação científica:
k = 6,25\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.

Passo 5

Definindo e deduzindo a expressão da meia‑vida t_{1/2}: por definição a meia‑vida é o tempo necessário para que a concentração caia até metade do valor inicial, ou seja
[A]_{t_{1/2}} = \frac{[A]_0}{2}.
Usamos a lei integrada [A]_t = [A]_0 - k t e substituímos [A]_t por [A]_0/2:
\frac{[A]_0}{2} = [A]_0 - k\,t_{1/2}.
Isolando t_{1/2}:
k\,t_{1/2} = [A]_0 - \frac{[A]_0}{2} = \frac{[A]_0}{2},
logo
t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}.
Observação: para ordem zero a meia‑vida depende do valor inicial [A]_0.

Passo 6

Cálculo numérico da meia‑vida usando [A]_0=1,5\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e o k calculado:
t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k} = \frac{1,5}{2\cdot 0,00625}.
Calcule o denominador primeiro:
2\cdot 0,00625 = 0,0125.
Agora a divisão:
t_{1/2} = \frac{1,5}{0,0125} = 120\\ \mathrm{s}.
Cheque rápido de coerência: a concentração caiu de 1,5 para 0,75 em 120\\ \mathrm{s}, ou seja para metade em 120\\ \mathrm{s} — isto confirma o valor obtido.

Passo 7

Resumo e interpretação curta (para te motivar): a constante k tem valor pequeno porque a reação consome o reagente lentamente; a meia‑vida igual a 120\\ \mathrm{s} mostra que, com essa k e concentração inicial dada, a metade do reagente é consumida em dois minutos. Agora dá pra aplicar a mesma rotina em questões parecidas: identificar a lei integrada, isolar a incógnita e substituir os números.

Resposta

k = 0,00625\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}} (ou 6,25\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}})
t_{1/2} = 120\\ \mathrm{s}

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