Para um determinado gás a energia interna U depende do volume e da pressāo de acordo com U=(3 / 2) p V. Determine o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de um estado A até um estado B, sendo que A e B pertencem a una mesma adiabática. Determine o calor recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico do estado B até um estado C tal que C tenha a mesma energia que A. Suponha agora que o gás sofra um processo que o leve de A até C por um processo quase-estático a energia constante. Determine o trabalho e o calor ao longo desse processo. Dados: V_{\mathrm{A}}, p_{\mathrm{A}} e V_{\mathrm{B}}, p_{\mathrm{B}}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece os dados indicados. Vou listar claramente o que se pede e o que temos disponível:
  • O enunciado fornece a dependência da energia interna: U=\tfrac{3}{2}pV.
  • Dados numéricos/simbólicos fornecidos: \,V_{A},\;p_{A}\, e \,V_{B},\;p_{B}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de A até B, sendo A e B pertencentes à mesma adiabática.
    2. Determinar o calor recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico de B até C, em que C tem a mesma energia de A (isto é, U_C=U_A).
    3. Supondo agora um processo quase-estático de A até C mantendo a energia constante ( U constante), determinar o trabalho e o calor nesse processo.
Observações importantes que retiro do enunciado: na parte (1) “mesma adiabática” implica que o processo entre A e B não troca calor com o meio ( Q=0); na parte (2) “isocórico” implica W=0 nessa transformação; na parte (3) “energia constante” implica \Delta U=0.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Relembre (aula rápida e bem prática) a 1ª Lei da Termodinâmica e convenções de sinal que vou usar:
  • A 1ª Lei da Termodinâmica, na forma mais comum para transformações quasi-estáticas, é
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do gás ( U_{\text{final}}-U_{\text{inicial}});
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o gás se expande).
  • Trabalho elementar em processo quasi-estático é
\delta W = p\,dV,
portanto o trabalho total entre volumes V_i e V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} p(V)\,dV.
Essas são as ferramentas principais. Vou aplicar diretamente agora a cada parte, lembrando que posso usar a expressão dada \,U=\tfrac{3}{2}pV para calcular variações de U.

Passo 3

Parte 1 — trabalho W_{A\to B} ao longo da adiabática A\to B.
  • Como A e B pertencem à mesma adiabática, não há troca de calor: Q_{A\to B}=0.
  • Pela 1ª Lei:
\Delta U_{A\to B} = Q_{A\to B} - W_{A\to B} \quad\Rightarrow\quad \Delta U_{A\to B} = -W_{A\to B}.
  • Logo o trabalho realizado pelo gás é
W_{A\to B} = -\Delta U_{A\to B} = U_A - U_B.
Agora uso a expressão de U. Avaliando U nos estados A e B:
U_A = \tfrac{3}{2}p_A V_A,\qquad U_B = \tfrac{3}{2}p_B V_B.
Portanto
W_{A\to B} = \tfrac{3}{2}\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).
Esse é o resultado geral: trabalho do gás de A para B ao longo da adiabática.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o resultado do Passo 3 (para você entender na prova):
  • Não precisei da equação explícita da adiabática p(V) porque usei a 1ª Lei com Q=0: para calcular trabalho entre dois estados numa adiabática é suficiente saber a variação da energia interna (e a expressão de U).
  • Atenção às convenções: se U_A>U_B então W_{A\to B}>0 (o gás realizou trabalho); se U_A<U_B então W_{A\to B}<0 (o ambiente realizou trabalho sobre o gás).

Passo 5

Parte 2 — calor recebido Q_{B\to C} durante o processo isocórico B\to C, sabendo que U_C=U_A.
  • Isocórico significa V constante; portanto o trabalho realizado é zero:
W_{B\to C}=0.
  • Pela 1ª Lei:
\Delta U_{B\to C} = Q_{B\to C} - W_{B\to C} \quad\Rightarrow\quad Q_{B\to C} = \Delta U_{B\to C}.
  • Como U_C=U_A, temos \Delta U_{B\to C} = U_C - U_B = U_A - U_B.
  • Usando U=\tfrac{3}{2}pV:
Q_{B\to C} = U_A - U_B = \tfrac{3}{2}\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).
Observação intuitiva: é o mesmo valor numérico do trabalho calculado em (1), porque lá W_{A\to B}=U_A-U_B e aqui Q_{B\to C}=U_A-U_B. No caso isocórico o calor compensa a diferença de energia.

Passo 6

Parte 3 — processo quase-estático A\to C com energia constante ( \Delta U=0). Determinar trabalho W_{A\to C} e calor Q_{A\to C}.
  • Se \Delta U_{A\to C}=0, pela 1ª Lei temos
0 = Q_{A\to C} - W_{A\to C} \quad\Rightarrow\quad Q_{A\to C} = W_{A\to C}.
Ou seja, todo o calor recebido é convertido em trabalho (e vice-versa), porque a energia interna não muda.
  • Além disso, U=\tfrac{3}{2}pV= constante no processo. Daí pV= constante (chamo essa constante de K):
pV = K.
Avalio K em A: K = p_A V_A. Como C foi obtido antes mantendo V_C=V_B (porque C foi definido pela isocórica B\to C), temos V_C=V_B e o mesmo K se aplica.
  • Para o trabalho quasi-estático:
W_{A\to C}=\int_{V_A}^{V_C} p(V)\,dV = \int_{V_A}^{V_C} \frac{K}{V}\,dV = K\ln\!\frac{V_C}{V_A}.
Substituindo K=p_A V_A e V_C=V_B (lembrando que C foi obtido por isocórico a partir de B):
W_{A\to C} = p_A V_A \ln\!\frac{V_B}{V_A}.
  • Como Q_{A\to C}=W_{A\to C}, segue
Q_{A\to C} = p_A V_A \ln\!\frac{V_B}{V_A}.
Comentário pedagógico: perceber que U constante implica pV constante é chave aqui — daí o processo tem a mesma forma do trabalho de uma transformação isoterma de um gás ideal (integração de p\propto 1/V). Usei o fato de que C tem V_C=V_B porque no item anterior C foi obtido por isocórico partindo de B.

Resposta

W_{A\to B}=\tfrac{3}{2}\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr)\n
Q_{B\to C}=\tfrac{3}{2}\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr)\n
W_{A\to C}=p_A V_A \ln\!\dfrac{V_B}{V_A}\n
Q_{A\to C}=p_A V_A \ln\!\dfrac{V_B}{V_A}

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