Para um determinado gás a energia interna
depende do volume e da pressāo de acordo com
. Determine o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de um estado
até um estado
, sendo que
e
pertencem a una mesma adiabática. Determine o calor recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico do estado
até um estado
tal que
tenha a mesma energia que
. Suponha agora que o gás sofra um processo que o leve de A até C por um processo quase-estático a energia constante. Determine o trabalho e o calor ao longo desse processo. Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece os dados indicados. Vou listar claramente o que se pede e o que temos disponível:
- O enunciado fornece a dependência da energia interna:
- Dados numéricos/simbólicos fornecidos:
e - Perguntas:
- Determinar o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de
até , sendo e pertencentes à mesma adiabática. - Determinar o calor recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico de
até , em que tem a mesma energia de (isto é, ). - Supondo agora um processo quase-estático de
até mantendo a energia constante ( constante), determinar o trabalho e o calor nesse processo.
- Determinar o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de
Observações importantes que retiro do enunciado: na parte (1) “mesma adiabática” implica que o processo entre
e
não troca calor com o meio (
); na parte (2) “isocórico” implica
nessa transformação; na parte (3) “energia constante” implica
.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Relembre (aula rápida e bem prática) a 1ª Lei da Termodinâmica e convenções de sinal que vou usar:
- A 1ª Lei da Termodinâmica, na forma mais comum para transformações quasi-estáticas, é
onde:
-
é a variação da energia interna do gás ( ); -
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor); -
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o gás se expande). -
Trabalho elementar em processo quasi-estático é
portanto o trabalho total entre volumes
e
é
Essas são as ferramentas principais. Vou aplicar diretamente agora a cada parte, lembrando que posso usar a expressão dada
para calcular variações de
.
Passo 3
Parte 1 — trabalho
ao longo da adiabática
.
- Como
e pertencem à mesma adiabática, não há troca de calor: . - Pela 1ª Lei:
- Logo o trabalho realizado pelo gás é
Agora uso a expressão de
. Avaliando
nos estados
e
:
Portanto
Esse é o resultado geral: trabalho do gás de
para
ao longo da adiabática.
Passo 4
Comentário didático curto sobre o resultado do Passo 3 (para você entender na prova):
- Não precisei da equação explícita da adiabática
porque usei a 1ª Lei com : para calcular trabalho entre dois estados numa adiabática é suficiente saber a variação da energia interna (e a expressão de ). - Atenção às convenções: se
então (o gás realizou trabalho); se então (o ambiente realizou trabalho sobre o gás).
Passo 5
Parte 2 — calor recebido
durante o processo isocórico
, sabendo que
.
- Isocórico significa
constante; portanto o trabalho realizado é zero:
- Pela 1ª Lei:
- Como
, temos . - Usando
:
Observação intuitiva: é o mesmo valor numérico do trabalho calculado em (1), porque lá
e aqui
. No caso isocórico o calor compensa a diferença de energia.
Passo 6
Parte 3 — processo quase-estático
com energia constante (
). Determinar trabalho
e calor
.
- Se
, pela 1ª Lei temos
Ou seja, todo o calor recebido é convertido em trabalho (e vice-versa), porque a energia interna não muda.
- Além disso,
constante no processo. Daí constante (chamo essa constante de ):
Avalio
em
:
. Como
foi obtido antes mantendo
(porque
foi definido pela isocórica
), temos
e o mesmo
se aplica.
- Para o trabalho quasi-estático:
Substituindo
e
(lembrando que
foi obtido por isocórico a partir de
):
- Como
, segue
Comentário pedagógico: perceber que
constante implica
constante é chave aqui — daí o processo tem a mesma forma do trabalho de uma transformação isoterma de um gás ideal (integração de
). Usei o fato de que
tem
porque no item anterior
foi obtido por isocórico partindo de
.