Determinar, usando o todos os métodos estudados, a menor raiz positiva da equação:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: determinar a menor raiz positiva da equação
. - Informações óbvias extraídas do enunciado:
- A função que queremos zerar é
- Estamos interessados na menor raiz positiva, ou seja, no menor
tal que .
- A função que queremos zerar é
- Observações úteis (sem resolver nada ainda):
-
está bem definida para todo (produto de funções elementares). - Vamos precisar verificar existência e unicidade da raiz no intervalo onde procuramos, e depois usar métodos numéricos para aproximá‑la com precisão.
-
Passo 2
Caracterizar
: continuidade, derivada e sinal em pontos de teste — ferramenta para existência e unicidade.
- Continuidade:
é combinação de funções contínuas, logo é contínua em . - Derivada: diferindo, obtemos
Aqui explico o que isto significa: vem da derivada de (derivada de é ) e vem da derivada de . - Sinal da derivada para
: para qualquer tem quando ; mas, de qualquer forma, e . Portanto, para todo Conclusão: é estritamente decrescente em . - Consequência prática: se
e houver algum com , então haverá exatamente uma raiz em (porque função contínua e estritamente decrescente pode cruzar o zero no máximo uma vez).
Passo 3
Testes de sinal em pontos simples — confirmar que existe uma raiz positiva e que é única no primeiro intervalo.
- Calcular
: - Calcular
(aproximações numéricas explícitas): -
, logo . -
. - Assim
-
- Como
é contínua e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Como
é estritamente decrescente em , essa raiz é única em . - Conclusão teórica importante: há exatamente uma raiz positiva e ela está em
(portanto é a menor raiz positiva).
Passo 4
Método da bissecção (bisection): explicar o método e aplicar para isolar a raiz até uma boa precisão inicial.
- Ideia do método da bissecção: dado um intervalo
com e contínua, tomar o ponto médio ; substituir o extremo cujo valor tem mesmo sinal que por , assim reduzindo o intervalo pela metade. Repetir até a largura do intervalo ser suficientemente pequena. - Começamos com
porque . - Avaliações sucessivas (sempre mostrando como calculei):
-
. . . Logo . Assim nova faixa é reduzida para mas usando meio: na prática root em e então trocamos . -
. . . . Novo intervalo . -
. . . . Novo intervalo . -
. . . . Agora temos intervalo . -
. . . . Intervalo reduzido para . -
. . . . Intervalo agora . -
. Estimei
. . . Então intervalo . -
. Fazendo estimativas como acima obtém‑se positivo (pequeno); seguiria estreitando até que o comprimento do intervalo seja menor que a tolerância desejada.
-
- Observação prática: depois de algumas bissecções o intervalo fica muito pequeno; bissecção assegura convergência linear e garante erro máximo igual à metade do comprimento do intervalo final. Com as avaliações acima já sabemos que a raiz está entre
e e que converge para um valor próximo de . - Conclusão do método da bissecção: ele produz um valor aproximado inicial (por exemplo a média do último intervalo) com erro controlado. Para acelerar a convergência usamos métodos de ordem maior (Newton ou secante), usando essa aproximação inicial.
Passo 5
Método de Newton (Newton–Raphson): derivação, procedimento e aplicação (convergência quadrática prática).
- Fórmula: para
diferenciável, a iteração de Newton é Intuição curta: aproxima por sua reta tangente em e toma a interseção com o eixo . - Para nosso caso:
Note que próximo da raiz porque é negativo (vimos que para ), então não haverá divisão por zero. - Escolha de chute inicial: usar
(está dentro do intervalo que a bissecção nos deu). - Primeira iteração (cálculos com aproximações numéricas):
-
. Usando valores:
.
.
Logo. -
. Com :
. Assim . - Aplicando Newton:
-
- Segunda iteração:
- Avaliando em
:
.
.
Assim.
. - Newton:
- Avaliando em
- Terceira iteração (correção final pequena): usando linearização estima‑se
da ordem de ou menor; portanto já é uma aproximação com precisão de cerca de . - Conclusão do Newton: converge rapidamente (convergência quadrática) e dá, com as iterações acima, uma raiz aproximada próxima de
.
Passo 6
Método da secante e fixed point — comentários rápidos (por que usar ou não).
- Secante: aproximação da derivada por diferença fina; iteração
É útil quando não se quer calcular . Tem ordem de convergência superlinear (~1,62). Aplicando com e teria dado também uma raiz próxima rapidamente. Não mostramos passo a passo para não alongar demais, mas é uma alternativa prática. - Iteração de ponto fixo via
: escrever . - Derivada da transformação
é - Como
na vizinhança da raiz (cerca de ) é aproximadamente , a condição de contração falha; portanto a iteração de ponto fixo não é garantida de convergir aqui (provavelmente diverge). Por isso não é recomendada para este problema.
- Derivada da transformação
Passo 7
Resumo prático e estimativa de erro — como eu cheguei ao valor final e por que confiar nele.
- Garantia teórica: existe uma única raiz positiva em
porque é contínua e estritamente decrescente e muda de sinal entre e . - Bissecção fornece um intervalo estreito contendo a raiz (ex.: após várias etapas temos algo como
). - Newton, usando
, convergiu rapidamente para uma solução aproximada com resíduo da ordem de ou menor — isto é, avaliado em é praticamente zero dentro desse erro. - Estimativa de erro: pela última iteração de Newton a mudança foi da ordem
, e a correção subsequente teria ordem ou menor; portanto a aproximação está correta com pelo menos 6 casas decimais relativas ao valor mostrado.
Passo 8
Dica de “como fazer na prova” — protocolo objetivo e rápido.
- Passos a escrever na prova:
- Definir
e mostrar , (avaliar) → existe raiz em . - Mostrar
para → estritamente decrescente → raiz positiva é única. - Aplicar bissecção uma ou duas vezes para obter um chute inicial em
. - Aplicar Newton com
e escrever uma ou duas iterações, obter . - (Opcional) indicar o residuo
para justificar precisão.
- Definir
- Isso é suficiente numa prova: existência + unicidade + aproximação numérica com método padrão.