Determinar, usando o todos os métodos estudados, a menor raiz positiva da equação: 4 \cos x-e^{x}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: determinar a menor raiz positiva da equação 4\cos x - e^{x} = 0.
  • Informações óbvias extraídas do enunciado:
    • A função que queremos zerar é f(x)=4\cos x - e^{x}.
    • Estamos interessados na menor raiz positiva, ou seja, no menor x>0 tal que f(x)=0.
  • Observações úteis (sem resolver nada ainda):
    • f está bem definida para todo x\in\mathbb{R} (produto de funções elementares).
    • Vamos precisar verificar existência e unicidade da raiz no intervalo onde procuramos, e depois usar métodos numéricos para aproximá‑la com precisão.

Passo 2

Caracterizar f: continuidade, derivada e sinal em pontos de teste — ferramenta para existência e unicidade.
  • Continuidade: f(x)=4\cos x - e^{x} é combinação de funções contínuas, logo é contínua em \mathbb{R}.
  • Derivada: diferindo, obtemos f'(x) = -4\sin x - e^{x}.Aqui explico o que isto significa: -4\sin x vem da derivada de 4\cos x (derivada de \cos x é -\sin x) e - e^{x} vem da derivada de -e^{x}.
  • Sinal da derivada para x>0: para qualquer x>0 tem \sin x\ge 0 quando x\in[0,\pi]; mas, de qualquer forma, -4\sin x \le 0 e -e^{x}<0. Portanto, para todo x>0 f'(x) = -4\sin x - e^{x} < 0.Conclusão: f é estritamente decrescente em (0,\infty).
  • Consequência prática: se f(0)>0 e houver algum b>0 com f(b)<0, então haverá exatamente uma raiz em (0,b) (porque função contínua e estritamente decrescente pode cruzar o zero no máximo uma vez).

Passo 3

Testes de sinal em pontos simples — confirmar que existe uma raiz positiva e que é única no primeiro intervalo.
  • Calcular f(0): f(0)=4\cos 0 - e^{0}=4\cdot 1 - 1 = 3>0.
  • Calcular f(1) (aproximações numéricas explícitas):
    • \cos 1 \approx 0,540302, logo 4\cos 1 \approx 2,161208.
    • e^{1}=e\approx 2,718282.
    • Assim f(1)\approx 2,161208 - 2,718282 \approx -0,557074 <0.
  • Como f é contínua e f(0)>0>f(1), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi em (0,1).
  • Como f é estritamente decrescente em (0,\infty), essa raiz é única em (0,\infty).
  • Conclusão teórica importante: há exatamente uma raiz positiva e ela está em (0,1) (portanto é a menor raiz positiva).

Passo 4

Método da bissecção (bisection): explicar o método e aplicar para isolar a raiz até uma boa precisão inicial.
  • Ideia do método da bissecção: dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0 e f contínua, tomar o ponto médio m=(a+b)/2; substituir o extremo cujo valor tem mesmo sinal que f(m) por m, assim reduzindo o intervalo pela metade. Repetir até a largura do intervalo ser suficientemente pequena.
  • Começamos com [a,b]=[0,1] porque f(0)>0>f(1).
  • Avaliações sucessivas (sempre mostrando como calculei):
    • m_1=0,5. \cos 0,5\approx 0,8775826\Rightarrow 4\cos 0,5\approx 3,510330. e^{0,5}\approx 1,648721. Logo f(0,5)\approx 3,510330-1,648721=1,861609>0. Assim nova faixa é [0,1]\to[0,1] reduzida para [0,1] mas usando meio: na prática root em [0,1] e f(0,5)>0 então trocamos a\leftarrow 0,5.
    • m_2=0,75. \cos 0,75\approx 0,7316889\Rightarrow 4\cos 0,75\approx 2,926756. e^{0,75}\approx 2,117000. f(0,75)\approx 0,809756>0. Novo intervalo [0,75,1].
    • m_3=0,875. \cos 0,875\approx 0,6390125\Rightarrow 4\cos\approx 2,55605. e^{0,875}\approx 2,398876. f(0,875)\approx 0,15717>0. Novo intervalo [0,875,1].
    • m_4=0,9375. \cos 0,9375\approx 0,592712\Rightarrow 4\cos\approx 2,370848. e^{0,9375}\approx 2,553590. f(0,9375)\approx -0,182742<0. Agora temos intervalo [0,875,0,9375].
    • m_5=0,90625. \cos 0,90625\approx 0,616813\Rightarrow 4\cos\approx 2,467252. e^{0,90625}\approx 2,474400. f(0,90625)\approx -0,007148<0. Intervalo reduzido para [0,875,0,90625].
    • m_6=0,890625. \cos 0,890625\approx 0,627054\Rightarrow 4\cos\approx 2,508216. e^{0,890625}\approx 2,435050. f(0,890625)\approx 0,073166>0. Intervalo agora [0,890625,0,90625].
    • m_7=0,8984375. Estimei
      \cos 0,8984375\approx 0,622832\Rightarrow 4\cos\approx 2,491328. e^{0,8984375}\approx 2,455764. f(0,8984375)\approx 0,035564>0. Então intervalo [0,8984375,0,90625].
    • m_8=0,90234375. Fazendo estimativas como acima obtém‑se f(0,90234375) positivo (pequeno); seguiria estreitando até que o comprimento do intervalo seja menor que a tolerância desejada.
  • Observação prática: depois de algumas bissecções o intervalo fica muito pequeno; bissecção assegura convergência linear e garante erro máximo igual à metade do comprimento do intervalo final. Com as avaliações acima já sabemos que a raiz está entre 0,8984375 e 0,90625 e que converge para um valor próximo de 0,9048.
  • Conclusão do método da bissecção: ele produz um valor aproximado inicial (por exemplo a média do último intervalo) com erro controlado. Para acelerar a convergência usamos métodos de ordem maior (Newton ou secante), usando essa aproximação inicial.

Passo 5

Método de Newton (Newton–Raphson): derivação, procedimento e aplicação (convergência quadrática prática).
  • Fórmula: para f diferenciável, a iteração de Newton é x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Intuição curta: aproxima f por sua reta tangente em x_n e toma a interseção com o eixo x.
  • Para nosso caso: f(x)=4\cos x - e^{x},\qquad f'(x)=-4\sin x - e^{x}.Note que f'(x)\neq 0 próximo da raiz porque é negativo (vimos que f'<0 para x>0), então não haverá divisão por zero.
  • Escolha de chute inicial: usar x_0=0,9 (está dentro do intervalo que a bissecção nos deu).
  • Primeira iteração (cálculos com aproximações numéricas):
    • f(0,9)=4\cos 0,9 - e^{0,9}. Usando valores:
      \cos 0,9\approx 0,6216099683\Rightarrow 4\cos\approx 2,486439873.
      e^{0,9}\approx 2,459603111.
      Logo f(0,9)\approx 0,026836762.
    • f'(0,9)=-4\sin 0,9 - e^{0,9}. Com \sin 0,9\approx 0,7833269096:
      -4\sin 0,9\approx -3,133307638. Assim f'(0,9)\approx -3,133307638 - 2,459603111 \approx -5,592910749.
    • Aplicando Newton: x_1 = 0,9 - \frac{0,026836762}{-5,592910749}\approx 0,9 + 0,0048007 \approx 0,9048007.
  • Segunda iteração:
    • Avaliando em x_1\approx 0,9048007:
      \cos x_1\approx 0,617843\Rightarrow 4\cos\approx 2,471372.
      e^{x_1}\approx 2,471450.
      Assim f(x_1)\approx -7{,}8\times 10^{-5}.
      f'(x_1)\approx -5{,}616656.
    • Newton: x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 0,9048007 - \frac{-7{,}8\times 10^{-5}}{-5{,}616656}\approx 0,9047868.
  • Terceira iteração (correção final pequena): usando linearização estima‑se f(x_2) da ordem de 10^{-6} ou menor; portanto x_2 já é uma aproximação com precisão de cerca de 10^{-6}.
  • Conclusão do Newton: converge rapidamente (convergência quadrática) e dá, com as iterações acima, uma raiz aproximada próxima de 0,904787.

Passo 6

Método da secante e fixed point — comentários rápidos (por que usar ou não).
  • Secante: aproximação da derivada por diferença fina; iteração x_{n+1}=x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.É útil quando não se quer calcular f'. Tem ordem de convergência superlinear (~1,62). Aplicando com x_0=0,9 e x_{-1}=0,875 teria dado também uma raiz próxima rapidamente. Não mostramos passo a passo para não alongar demais, mas é uma alternativa prática.
  • Iteração de ponto fixo via x=\ln(4\cos x): escrever x_{n+1}=\ln(4\cos x_n).
    • Derivada da transformação g(x)=\ln(4\cos x) é g'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=-\tan x.
    • Como |\tan x| na vizinhança da raiz (cerca de 0,9048) é aproximadamente 1{,}27>1, a condição de contração |g'|<1 falha; portanto a iteração de ponto fixo não é garantida de convergir aqui (provavelmente diverge). Por isso não é recomendada para este problema.

Passo 7

Resumo prático e estimativa de erro — como eu cheguei ao valor final e por que confiar nele.
  • Garantia teórica: existe uma única raiz positiva em (0,1) porque f é contínua e estritamente decrescente e muda de sinal entre 0 e 1.
  • Bissecção fornece um intervalo estreito contendo a raiz (ex.: após várias etapas temos algo como [0,8984375,0,90625]).
  • Newton, usando x_0=0,9, convergiu rapidamente para uma solução aproximada x\approx 0,9047868,com resíduo f(x) da ordem de 10^{-6} ou menor — isto é, 4\cos x - e^{x} avaliado em x é praticamente zero dentro desse erro.
  • Estimativa de erro: pela última iteração de Newton a mudança foi da ordem 10^{-5}, e a correção subsequente teria ordem 10^{-6} ou menor; portanto a aproximação está correta com pelo menos 6 casas decimais relativas ao valor mostrado.

Passo 8

Dica de “como fazer na prova” — protocolo objetivo e rápido.
  • Passos a escrever na prova:
    1. Definir f(x)=4\cos x - e^{x} e mostrar f(0)=3>0, f(1)<0 (avaliar) → existe raiz em (0,1).
    2. Mostrar f'(x)=-4\sin x - e^{x}<0 para x>0 f estritamente decrescente → raiz positiva é única.
    3. Aplicar bissecção uma ou duas vezes para obter um chute inicial em (0,9,0,905).
    4. Aplicar Newton com x_0=0,9 e escrever uma ou duas iterações, obter x\approx 0,904787.
    5. (Opcional) indicar o residuo f(x) para justificar precisão.
  • Isso é suficiente numa prova: existência + unicidade + aproximação numérica com método padrão.

Resposta

x\approx 0,904787

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