Em um dia frio, com temperatura de
, uma bomba de calor fornece 20 kW de aquecimento para que uma casa seja mantida a
. Se o coeficiente de desempenho for 4 , quanto de potência mecânica a bomba de calor requer para operar? Admita que a temperatura do ar externo caia para
. Supondo que o coeficiente de desempenho da bomba de calor varie segundo a mesma porcentagem da variação do coeficiente de desempenho de uma máquina de Carnot operando nas mesmas condições, determine a nova temperatura
de equilíbrio da casa. E que percentualmente se mantiver inalterado, assim como o coeficiente global de transferência de calor entre o ambiente interno da casa e o ambiente externo, qual será o novo consumo da bomba de calor?
de equilíbrio da casa. E que percentualmente se mantiver inalterado, assim como o coeficiente global de transferência de calor entre o ambiente interno da casa e o ambiente externo, qual será o novo consumo da bomba de calor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
-
Dados fornecidos:
- Temperatura externa inicial:
. - Temperatura interna desejada (mantida):
. - Potência de aquecimento fornecida pela bomba:
. - Coeficiente de desempenho (COP) inicial da bomba:
. - Depois, a temperatura externa cai para
. - Pressupostos: a variação percentual do COP real segue a variação percentual do COP de uma máquina de Carnot entre as mesmas temperaturas; o coeficiente global de transferência de calor da casa (chamado aqui de
, em ) permanece inalterado.
- Temperatura externa inicial:
-
Perguntas:
- Quanto de potência mecânica a bomba requer para operar (nas condições iniciais)?
- Depois da queda da temperatura externa para
, supondo que a bomba continue a receber a mesma potência mecânica que antes, qual será a nova temperatura de equilíbrio da casa (isto é, a nova alcançada quando perdas = aquecimento fornecido)? - Se, ao invés de deixar a temperatura cair, mantiverem-se o mesmo setpoint interno
e o mesmo , qual será o novo consumo (potência mecânica) da bomba de calor com o novo COP?
Passo 2
Primeiro, calcular a potência mecânica requerida inicialmente. Aula rápida sobre COP de bomba de calor:
- Para uma bomba de calor que fornece calor ao interior (reservatório quente), define-se o coeficiente de desempenho como
onde
é a potência térmica entregue ao ambiente interno e
é a potência mecânica elétrica fornecida à bomba. Assim,
Aqui
e
. Logo
Interpretação simples: a bomba consome
de potência mecânica para entregar
de calor ao interior.
Passo 3
Vamos relacionar as perdas térmicas da casa com um coeficiente global
. Modelo e fórmula:
- Para uma casa com perdas proporcionais à diferença de temperatura, a potência perdida é
, onde tem unidades e as temperaturas estão em (diferença em K é igual à diferença em °C). - Em regime estacionário as perdas igualam o calor fornecido:
.
Usando os dados iniciais para determinar
: com
,
e
,
logo
Explicação: esse
resume paredes, janelas, ventilação etc. e será mantido constante conforme o enunciado.
Passo 4
Agora precisamos estimar o novo
da bomba quando a temperatura externa cair para
. O enunciado manda usar como guia a variação percentual do COP de Carnot. Vamos explicar o COP de Carnot para bomba de calor:
- Para uma máquina de Carnot operando como bomba de calor entre reservatórios a temperaturas absolutas
e (em kelvin),
Aqui
é a temperatura do ar interno em kelvin e
é a temperatura externa em kelvin. Lembrete: para passar de
para kelvin, somar
.
Converter temperaturas:
Calcular os COPs de Carnot inicial e final:
A variação percentual do COP de Carnot é
ou seja, uma queda de aproximadamente
.
Assumindo que o COP real da bomba sofre a mesma variação percentual, o novo COP real é
Resumo: quando a temperatura externa passa de
para
, estima-se
da bomba caindo de
para
.
Passo 5
Determinar a nova temperatura de equilíbrio da casa se a bomba continuar operando com a mesma potência mecânica que tinha antes (
).
- Primeiro calcular a nova potência térmica entregue ao interior com o novo
:
- Em regime estacionário
. Isolando ,
Substituindo
,
e
,
Calculemos a divisão:
Portanto
Interpretação: se a bomba continuar fornecendo a mesma potência mecânica de
, a casa cairá de
para cerca de
em equilíbrio, porque o COP caiu e, assim, a potência térmica entregue diminuiu.
Passo 6
Agora, supondo que se mantenha a temperatura interna desejada em
(isto é, o termostato não permite quedas) e que
permanece inalterado, qual será o novo consumo (potência mecânica) da bomba com o novo
?
- Primeiro a potência térmica exigida agora (com
e ):
Com
,
- A potência mecânica necessária é
Conclusão: para manter a casa em
quando o ar externo cai para
, a bomba terá de consumir cerca de
(antes consumia
).