Em um dia frio, com temperatura de -10^{\circ} \mathrm{C}, uma bomba de calor fornece 20 kW de aquecimento para que uma casa seja mantida a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se o coeficiente de desempenho for 4 , quanto de potência mecânica a bomba de calor requer para operar? Admita que a temperatura do ar externo caia para -15^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que o coeficiente de desempenho da bomba de calor varie segundo a mesma porcentagem da variação do coeficiente de desempenho de uma máquina de Carnot operando nas mesmas condições, determine a nova temperatura
de equilíbrio da casa. E que percentualmente se mantiver inalterado, assim como o coeficiente global de transferência de calor entre o ambiente interno da casa e o ambiente externo, qual será o novo consumo da bomba de calor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura externa inicial: \,T_{e1}=-10^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura interna desejada (mantida): \,T_{i}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Potência de aquecimento fornecida pela bomba: \dot{Q}_{H1}=20\\ \text{kW}.
    • Coeficiente de desempenho (COP) inicial da bomba: \mathrm{COP}_1=4.
    • Depois, a temperatura externa cai para \,T_{e2}=-15^\circ\mathrm{C}.
    • Pressupostos: a variação percentual do COP real segue a variação percentual do COP de uma máquina de Carnot entre as mesmas temperaturas; o coeficiente global de transferência de calor da casa (chamado aqui de U, em \text{kW}/\text{K}) permanece inalterado.
  • Perguntas:
    1. Quanto de potência mecânica a bomba requer para operar (nas condições iniciais)?
    2. Depois da queda da temperatura externa para -15^\circ\mathrm{C}, supondo que a bomba continue a receber a mesma potência mecânica que antes, qual será a nova temperatura de equilíbrio da casa (isto é, a nova \,T_i alcançada quando perdas = aquecimento fornecido)?
    3. Se, ao invés de deixar a temperatura cair, mantiverem-se o mesmo setpoint interno \,T_i=20^\circ\mathrm{C} e o mesmo U, qual será o novo consumo (potência mecânica) da bomba de calor com o novo COP?

Passo 2

Primeiro, calcular a potência mecânica requerida inicialmente. Aula rápida sobre COP de bomba de calor:
  • Para uma bomba de calor que fornece calor ao interior (reservatório quente), define-se o coeficiente de desempenho como
\mathrm{COP}=\frac{\dot{Q}_H}{W},
onde \dot{Q}_H é a potência térmica entregue ao ambiente interno e W é a potência mecânica elétrica fornecida à bomba. Assim,
W=\frac{\dot{Q}_H}{\mathrm{COP}}.
Aqui \dot{Q}_{H1}=20\\ \text{kW} e \mathrm{COP}_1=4. Logo
W_1=\frac{20\\ \text{kW}}{4}=5\\ \text{kW}.
Interpretação simples: a bomba consome \,5\\ \text{kW} de potência mecânica para entregar \,20\\ \text{kW} de calor ao interior.

Passo 3

Vamos relacionar as perdas térmicas da casa com um coeficiente global U. Modelo e fórmula:
  • Para uma casa com perdas proporcionais à diferença de temperatura, a potência perdida é \dot{Q}_{\text{loss}}=U\left(T_i-T_e\right), onde U tem unidades \text{kW}/\text{K} e as temperaturas estão em ^\circ\mathrm{C} (diferença em K é igual à diferença em °C).
  • Em regime estacionário as perdas igualam o calor fornecido: \dot{Q}_H=U\left(T_i-T_e\right).
Usando os dados iniciais para determinar U: com \dot{Q}_{H1}=20\\ \text{kW}, T_i=20^\circ\mathrm{C} e T_{e1}=-10^\circ\mathrm{C},
20\\ \text{kW}=U\bigl(20-(-10)\bigr)=U\cdot 30\\ \text{K},
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U=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\\ \text{kW}/\text{K}\approx 0{,}6667\\ \text{kW}/\text{K}.
Explicação: esse U resume paredes, janelas, ventilação etc. e será mantido constante conforme o enunciado.

Passo 4

Agora precisamos estimar o novo \mathrm{COP} da bomba quando a temperatura externa cair para -15^\circ\mathrm{C}. O enunciado manda usar como guia a variação percentual do COP de Carnot. Vamos explicar o COP de Carnot para bomba de calor:
  • Para uma máquina de Carnot operando como bomba de calor entre reservatórios a temperaturas absolutas T_H e T_C (em kelvin),
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}.
Aqui T_H é a temperatura do ar interno em kelvin e T_C é a temperatura externa em kelvin. Lembrete: para passar de ^\circ\mathrm{C} para kelvin, somar 273{,}15.
Converter temperaturas:
T_H=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \text{K},\qquad T_{C1}=-10^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \text{K},
T_{C2}=-15^\circ\mathrm{C}=258{,}15\\ \text{K}.
Calcular os COPs de Carnot inicial e final:
\mathrm{COP}_{C1}=\frac{293{,}15}{293{,}15-263{,}15}=\frac{293{,}15}{30}\approx 9{,}7717,
\mathrm{COP}_{C2}=\frac{293{,}15}{293{,}15-258{,}15}=\frac{293{,}15}{35}\approx 8{,}3760.
A variação percentual do COP de Carnot é
\delta=\frac{\mathrm{COP}_{C2}-\mathrm{COP}_{C1}}{\mathrm{COP}_{C1}} =\frac{8{,}3760-9{,}7717}{9{,}7717}\approx -0{,}14283,
ou seja, uma queda de aproximadamente 14{,}283\%.
Assumindo que o COP real da bomba sofre a mesma variação percentual, o novo COP real é
\mathrm{COP}_2=\mathrm{COP}_1\,(1+\delta)=4\,(1-0{,}14283)\approx 4\cdot 0{,}85717\approx 3{,}4287.
Resumo: quando a temperatura externa passa de -10^\circ\mathrm{C} para -15^\circ\mathrm{C}, estima-se \mathrm{COP} da bomba caindo de 4 para \approx 3{,}4287.

Passo 5

Determinar a nova temperatura de equilíbrio da casa se a bomba continuar operando com a mesma potência mecânica que tinha antes ( W_1=5\\ \text{kW}).
  • Primeiro calcular a nova potência térmica entregue ao interior com o novo \mathrm{COP}_2:
\dot{Q}_{H2}=\mathrm{COP}_2\;W_1 \approx 3{,}4287\cdot 5\\ \text{kW}\approx 17{,}1435\\ \text{kW}.
  • Em regime estacionário \dot{Q}_{H2}=U\bigl(T_{i2}-T_{e2}\bigr). Isolando T_{i2},
T_{i2}=T_{e2}+\frac{\dot{Q}_{H2}}{U}.
Substituindo T_{e2}=-15^\circ\mathrm{C}, \dot{Q}_{H2}\approx 17{,}1435\\ \text{kW} e U=\tfrac{2}{3}\\ \text{kW}/\text{K},
T_{i2}=-15^\circ\mathrm{C}+\frac{17{,}1435}{2/3}=-15^\circ\mathrm{C}+\frac{17{,}1435}{0{,}6666667}.
Calculemos a divisão:
\frac{17{,}1435}{0{,}6666667}\approx 25{,}7149\\ \text{K}.
Portanto
T_{i2}\approx -15^\circ\mathrm{C}+25{,}7149^\circ\mathrm{C}\approx 10{,}7149^\circ\mathrm{C}\approx 10{,}71^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: se a bomba continuar fornecendo a mesma potência mecânica de 5\\ \text{kW}, a casa cairá de 20^\circ\mathrm{C} para cerca de 10{,}7^\circ\mathrm{C} em equilíbrio, porque o COP caiu e, assim, a potência térmica entregue diminuiu.

Passo 6

Agora, supondo que se mantenha a temperatura interna desejada em T_i=20^\circ\mathrm{C} (isto é, o termostato não permite quedas) e que U permanece inalterado, qual será o novo consumo (potência mecânica) da bomba com o novo \mathrm{COP}_2?
  • Primeiro a potência térmica exigida agora (com T_i=20^\circ\mathrm{C} e T_{e2}=-15^\circ\mathrm{C}):
\dot{Q}_{H,\text{req}}=U\bigl(20-(-15)\bigr)=U\cdot 35.
Com U=\tfrac{2}{3}\\ \text{kW}/\text{K},
\dot{Q}_{H,\text{req}}=\frac{2}{3}\cdot 35=\frac{70}{3}\\ \text{kW}\approx 23{,}3333\\ \text{kW}.
  • A potência mecânica necessária é
W_2=\frac{\dot{Q}_{H,\text{req}}}{\mathrm{COP}_2} \approx\frac{23{,}3333}{3{,}4287}\\ \text{kW}\approx 6{,}8060\\ \text{kW}.
Conclusão: para manter a casa em 20^\circ\mathrm{C} quando o ar externo cai para -15^\circ\mathrm{C}, a bomba terá de consumir cerca de 6{,}81\\ \text{kW} (antes consumia 5{,}0\\ \text{kW}).

Resposta

W_1=5{,}0\\ \text{kW}
T_{i2}\approx 10{,}71^\circ\mathrm{C}
W_2\approx 6{,}81\\ \text{kW}

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