3.9 Um tanque com capacidade de 0,5 \mathrm{~m}^{3} contém 10 kg de um gás perfeito que apresenta peso molecular igual a 24 . A temperatura no gás é 25^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a pressão no gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do tanque: V=0,5\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Massa do gás: m=10\\ \mathrm{kg}.
    • Peso molecular (massa molar): M=24. (Significa 24\\ \mathrm{g/mol}.)
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a pressão do gás dentro do tanque, P.
Observação importante sobre unidades que vou usar:
  • Converter a massa molar para unidades do SI: M=24\\ \mathrm{g/mol}=0,024\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Converter a temperatura para Kelvin: T=25^\circ\mathrm{C}+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicadinho): a lei dos gases ideais diz que, para uma massa de gás ideal, vale
P V = n R T,
onde
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^3}),
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol}),
  • R é a constante universal dos gases ideais ( R \approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Também preciso relacionar o número de mols n com a massa m e a massa molar M:
n=\frac{m}{M},
onde m deve estar em \mathrm{kg} e M em \mathrm{kg/mol}.
Vou usar essas duas fórmulas juntas para achar P.

Passo 3

Calcular o número de mols n. Usei a massa m=10\\ \mathrm{kg} e a massa molar M=0,024\\ \mathrm{kg/mol}:
n=\frac{m}{M}=\frac{10}{0,024}.
Fazendo a conta de forma exata como fração:
\frac{10}{0,024}=\frac{10}{24\times10^{-3}}=\frac{10}{24}\times10^{3}=\frac{1250}{3}\\ \mathrm{mol}\approx 416{,}666\ldots\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Agora volto para a lei dos gases ideais e isolo P:
P=\frac{n R T}{V}.
Vou substituir n=\dfrac{1250}{3}, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=298{,}15\\ \mathrm{K} e V=0,5\\ \mathrm{m^3}:
P=\frac{\dfrac{1250}{3}\times 8{,}314 \times 298{,}15}{0,5}.
Para facilitar a conta, multiplico numerador e denominador por 2 (ou seja, divido por 0,5 é multiplicar por 2):
P=\frac{2500}{3}\times 8{,}314 \times 298{,}15.

Passo 5

Fazer a multiplicação passo a passo de modo que dê para seguir sem calculadora (aproximações justificadas):
  1. Calcular 8{,}314\times 298{,}15:
    • 8{,}314\times 300=2494{,}2.
    • Subtrair 8{,}314\times 1{,}85. Como 8{,}314\times 1{,}85\approx 15{,}38, temos
    8{,}314\times 298{,}15\approx 2494{,}2-15{,}38=2478{,}82.
  2. Multiplicar por \dfrac{2500}{3}:
    • Primeiro 2478{,}82\times 2500 = 2478{,}82\times(1000\times2{,}5)=2478{,}82\times1000\times2{,}5 = 2\,478\,820\times2{,}5 = 6\,197\,050 (aprox).
    • Agora dividir por 3: \dfrac{6\,197\,050}{3}\approx 2\,065\,683{,}3\\ \mathrm{Pa}.
Aproximação final razoável:
P\approx 2{,}07\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Converter para unidades mais usuais para ter intuição:
P\approx 2{,}07\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=2{,}07\\ \mathrm{MPa}\approx 20{,}7\\ \text{bar}.
Pequeno check de coerência: o gás está relativamente comprimido (massa grande num volume moderado), então uma pressão da ordem de megapascais faz sentido — não está absurda para um cálculo idealizado. Força na perna, você chegou até aqui — ótimo trabalho!

Resposta

P\approx 2{,}07\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=2{,}07\\ \mathrm{MPa}\approx20{,}7\\ \mathrm{bar}

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